中２ 一次関数： ２点を通る直線の式

家で子供の数学を見ているものです。典型的な問題ですが2点を通る直線の式の求め方について、学校での教え方に疑問を感じます。

例えば (1, 2), (3, 7)の2点を通る直線の式、という問題ですが、学校ではy=ax+bを持ってきて、2点のx, y座標を代入してa, bの連立方程式を解くというやり方しか教えないようです。

私は、まず2点の座標を睨んで5/2と傾きを暗算で出してしまってy=(5/2)x+bとして、1点の座標を代入してb=-1/2とせよ、と教えています。

これでは教え方としてまずい点ありますでしょうか。連立方程式にすると間違う点が増えるし、まず傾きをだせばy切片も暗算で出せてしまうことが多いと思うので、速さと正確さだけ言えば勝っていると思います。連立で教えなければならない理由はあるのでしょうか？

No.9 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/03/08 00:03

　質問者さんのお子様がお使いの教科書には、連立方程式による解法しか掲載されていないのでしょうか。

　地域によっては高校入試で＜太郎君の考え方＞＜花子さんの考え方＞として２通りの方法に従って解答させる問題も出題されます。ですので、両方の解き方を理解させた方がよいと思います。

　ちなみに、学習指導要領を見ますと、明示的ではありませんが、両方の解き方を学ばせるよう示されているように見受けられます。
http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/9903 …
　また大日本図書刊「新版　中学校　数学２」では、３．１．８項「１次関数の式の求め方」（pp74-75)に両方の解法が掲載されています。

　教科書に掲載されているにもかかわらず、学校では連立方程式による解法しか教えていないのだとしたら、それは教えやすさと覚えやすさによるものと推測できます。
　　＜２点を通る直線の式は　連立方程式＞
　教えられる側も解法が２つもあると迷って手が付けられなくなることもありますので、それを防ぐためかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。そうなんですか。子供の言うことを鵜呑みにして、教科書をしっかり見ていませんでした。昨日は見れなかったので、今日チェックしてみます。

お礼日時：2011/03/08 09:48

No.10 回答者： mmk2000 回答日時： 2011/03/08 08:15

色んな意見がありますね。

座標が自然数の時はmakochiaさんの言う方法の方が簡単です。
ただ、座標にマイナスが入ったり、座標が少数や分数になった時に傾きを求める方法は非常に煩雑な計算を求められます。
あるいはいちいち正確な座標をグラフに書かないといけなくなるので逆に時間がかかったりしませんか？

一般的な方法を教えるときは連立方程式の方が簡単です。
生徒は連立方程式に当てはめて解けばいいだけですから。

＞連立方程式にすると間違う点が増えるし
間違うとすれば、それは求め方の問題ではなく生徒の計算力の問題です。連立方程式はもちろん解けるようになって居ないとダメですよ、という復習もかねています。
生徒達も、あぁこんなところで連立方程式が役に立つんだ！と思えるわけです。

ちなみにmakochiaさんの考え方はどちらかというと高校で学ぶはずです。
傾きmで１点(a,b)を通る直線は
y=mx+bに（a,b）を代入して求めるという基本的な問題があります。
そしてmをもとめるときに
２点（a1,b1）（a2,b2）の傾きmは
m=(b2-b1)/(a2-a1)
で求めるわけですから、makochiaさんのいう傾きを求めてから、というのと同じですね。
ある程度習熟した高校生に教えるやり方なので、教え方に問題ないけど少しだけ高度な方法、ということでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。座標に負数、小数、分数が入ったときは方程式もそれなりに複雑になってしまうのでは．．．と思ったりしています。

皆さんの回答を拝見していて、自分の疑問がどこから来ているか整理されて来たのですが、回答者様のご意見にはちょっと楯突くようになってしまいますが、一次関数の導入に当たっては「傾き（ｘ係数）とy切片（定数項）が決まれば一次関数は一義に決まる」という考えから入っており、その考えにstickする方が分かりやすいのではないかという思いがあります。問題集を見ても、傾きが～でy軸と．．．で交わる直線の式は等の問題に続いて、2点を通る直線の式は．．．という問題が出てきますし。

また、私立校、都立自校作成問題校などでは一次関数の応用問題が必ずと言っていいほど出題され、そこでは平行な直線は傾きが等しく切片が異なるという関係を多用することから、なるべく傾きに意識を向けさせたいという思いもあります。

連立方程式の解法も、他の方がおっしゃっているような多次式の場合への応用等意義あることは勿論ですが、これは文部省カリキュラムの明らかに悪いところだと思いますが、今ここでポンと連立方程式の解法を教えて、かなり時間が経ってから多次式の未知数求値にも応用できると言っても、細切れ過ぎてちょっと繋がらないかな、と感じます。

お礼日時：2011/03/08 10:35

No.8 回答者： masato0703 回答日時： 2011/03/07 21:00

No1です。

いろいろ回答拝見しました。

問題は直線と限定されていから、親御さんのご指摘のやり方が早いわけですが、
これが、高次の関数になった場合を考えてみてください。
２点から傾き、切片を求める方法は通用しなくなります。
つまり、応用が利かなくなるのです。

連立方程式からの解の求め方は、時間がかかる、手間隙かかってミスも多くなる、短所はありますが、
高次の関数への応用が聞くという長所もあります。


仮に
(1, 2), (3, 7)の2点を通る２次関数y=ax*x+bx+cを求めよ
となった場合どうしますか？

さらに高等数学（大学での代数）で
(1, 2), (3, 7)の2点を通るn次関数ax^n+bx^n-1+・・・・・・・
を満たす、組み合わせを求めよという問題にはどう対処しますか？

いろいろ解法はありますが、まずは連立方程式を愚直に解くが基本です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。私の質問を読み返してみて、連立で解くことに反対しているように書いてしまっていることに気付いたのですが、それは本意でなく、まずかったと思っています。そうではなくて、どうしてぐっと睨んで傾きが簡単に出るよね、ということを教えないのか、というのが疑問でした。

おっしゃる点はその通りだと思います。

お礼日時：2011/03/08 09:45

No.7 回答者： kk0578 回答日時： 2011/03/07 20:01

個人的には質問者さんのやり方がいいと思いますが、中には連立のほうがときやすい人もいます。

ただ、連立のとき方もきちんと身に着けさせたうえで、入試では質問者さんの考え方でやらせるのがよいと思います。

レベルよりも時間勝負なので。。。

この回答へのお礼

ありがとうございます。おっしゃる通りの方針でやっています。

お礼日時：2011/03/08 09:41

No.6 回答者： eeb33585 回答日時： 2011/03/07 19:17

私は教育関係者ではありませんが、意見を言わせてください。

私も考え方が論理的なら、いろいろな解き方で説明したほうが良いと思っています。
しかし一方では限られた時間で、先生方は、多様な生徒に対応が難しいのではとも思っています。
また先生の教え方は、上からの指導要領によっています（私が学生時代はそうでした）。

よって、あなた様の解き方がbetterでも、学校側に採用されない場合も多いということを
お子さんに説明しておいたほうが良いと思います。
お子さんが親と先生の間で困ることになりますから。

最後になりましたが、連立で教える理由は、文部省がそう決めたからではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。子供はその点理解していますので問題ないと思います。

他の方への返信でも書きましたが、文部省カリキュラムは概ね良く考えられていると思っていますので、これも何か考えがあってのことで、私が気付いていないだけじゃないのか、という趣旨でご質問したものです。

お礼日時：2011/03/07 19:51

No.5 回答者： noname#128783 回答日時： 2011/03/07 19:13

「連立方程式」のテーマを教えるにあたっての

材料が　2点を通過する直線の方程式を
求めるという話　なんだから
　それ以外の解法を教えるのは
ナンセンスというもの。

　この先　テストで同種の問題が出て
あなたが教えた解法で答えて損するのは
あなたの子供だから　どうでもいいといえばいい話だけど。

　数学なんて言うのは　手持ちの解法は
多いほどいいので　こんな解法もあるよ　は　「あり」　だが
自分と違う解法はおかしいと思うから　「なし」
は　学問としてもおかしい。

　中学生の親の若さで　そんな固い考え方するのね　と
ちょっと驚いた。　

この回答へのお礼

いえいえ、違います。連立で教えることがおかしい、自分とは違う解法はおかしいとは全く思っていません。なぜ傾きを出す方法を教えないのか、連立でないといけない、私が気付いていない理由があるのかをお聞きしたものです。子供は勿論どちらの解き方もできます。

あと、中学のカリキュラムでは、連立方程式のところで直線の式を求める問題がでるのではなく、一次関数の式の特定のところで２点を通る式を求めよ出る訳ですから、連立を出さなければナンセンスということでもありません。

他の方も「指導要領だから」とおっしゃってますが、私自身塾等で教えた経験では文部省カリキュラムはそれなりに考えられていて、その考え方を取った方が、他の問題への応用も効きやすい等の場合もあるので、お聞きしたものです。

お礼日時：2011/03/07 19:42

No.4 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/03/07 18:38

関数の考え方を理解する上では質問者さまのやり方の方がいいと思いますが、

とりあえず教科書ではそう指導するみたいですね。うちにも中２の娘がいますがうちは両方学校で教わり傾きを求める方が速いのでそちらのやり方でやっています。

どちらでもいいとは思います。テストでは解答しか書かない場合が多いですし高校入試などでは傾きで求めてしまう方が関数の問題は速く解けるような気がします。

この回答へのお礼

ありがとうございます。学校で両方教えてくれるならベストですね。ウチの子供の場合、連立しか教えてくれないので。古の昔ですが、高校の数学の教師に、数学の問題はいきなり解き始めるのは愚の骨頂で、まずぐっと睨んで見当をつけることが大事と教わって、そのコツだけで大学受験まではなんとかなったもので、連立を立てればなにしろ解けます、みたいなバカチョン方式にはどうしても疑問を感じてしまいます。

お礼日時：2011/03/07 19:17

No.3 回答者： DIooggooID 回答日時： 2011/03/07 18:29

定期試験や入学試験等では、回答の導出の過程が重要視されるので、

"暗算で・・・" という方法は、お勧めしません。

ただ、暗算で行っている計算過程をきちんと記載すれば、それで良いと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。勿論過程を書く問題では書けと言ってます。ただ私の経験でも暗算の方が早くて正確な場合が多いので、まず暗算で答えを出してしまって、それからのこと、と言っています。

お礼日時：2011/03/07 19:12

No.2 回答者： ztb00540 回答日時： 2011/03/07 18:28

学校側の採点のしやすさからと指導要領に従うだけの馬鹿先生のせいでしょう。

お子様には二つの方法があって学校は連立方程式で解く事を望んでいるからこの方法で解答しなさいとね。
考える力を付けた方が得ですから様々な方法で解ける事を教えてください。
後は馬鹿教師、馬鹿学校にあわせることも。将来必要になります。馬鹿にあわせる方法も。

お子様に更に努力家になる方法として
毎晩寝付く前に自分の心に言い聞かせて絶対信じ、ヤルゾと誓うんですよと
例えば
「限りない可能性・能力を信じ、努力家になり、一所懸命学問に集中し、東大に入り、人類に貢献します」
とね。自分が信じる言葉に置き換えてください。
東大は難しいから京大にカニングで行こう何て考えないでね。
東大に行くぞと信じきったらいけるんですからね。

よく言うじゃない、「諦めたら試合は終わり」これなんですからね。

中村天風「盛大な人生」第２章奇跡と信念、第３章理想の摩訶力
第三章を先に読んでね。１万円と高いけど

私のプロフィールを参考に出前しますよ、

この回答へのお礼

ありがとうございます。馬鹿先生にはちょっと引きましたが、指導要領通りにやってれば、子供の理解とか応用力とかは関係ないということなかれ主義なんだろうなとは思っていました。連立の解き方は、２点ともy=ax+bを満たすことを理解させるには意味はあると思うんですが．．．。

お礼日時：2011/03/07 19:11

No.1 回答者： masato0703 回答日時： 2011/03/07 18:24

親御さんのご指摘の方法もあります。

ただ、学校では
２点から直線を求める方法を
連立方程式の練習の一環として、
出題しているのでただ、効率が悪いだけの理由で目くじらを立てるべきではありません。

ちゃんと指導には目的があるのです。

この回答へのお礼

目くじらを立てているつもりはなかったので、書き方が悪かったら済みません。ただ、傾きを出してしまう方法を教えないのと、連立で解けることの意味、つまり直線状の全ての点は直線の式を満たし、未知数は傾きと切片の２つだから、２つのx,yが分かれば直線の式が出ること、更に進んで1点しか与えられなかったら、傾きと切片の関係式（比）が求まるということを教えないことに疑問を感じたものです。

お礼日時：2011/03/07 19:22