にゃんこ先生といいます。

異なるn個の物からr個を取る。

この取るという動作には、重複を許すやり方と許さないやり方があります。

また、取った後の動作には、並べる方法と組合せにする方法があります。

全部で2*2=4つのバージョンが考えられます。

順列nPr=n!/(n-r)!
組合せnCr=n!/(n-r)!r!
重複順列nΠr=n^r
重複組合せnHr=n+r-1Cr=(n+r-1)!/(n-1)!r!

ここで、一般に
重複順列nΠr≧順列nPr≧組合せnCr
が成り立ちますが、nHrとの大小関係はどうなるのでしょうか?

二変数関数としての場合分けが必要とは思うのですがよくわかりません。

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A 回答 (3件)

#2です。



数式の証明はできていないのですが、場合分けは以下のようになりそうです。
(n≧ rということを考慮して)

・n≦ 3 または (n, r)= (4, 4), (5, 5)のとき、nPr≦ nHr
・上記以外のとき、nPr≧ nHr

等号が成立するのは、
・r= 1のとき(nはいくつでもよい) ←これは数式で示せます。
・(n, r)= (3, 2)のとき
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#1です。


勘違いをしていました。

>まず、nHr= (n+r-1)Crと書き下せるので、nHr≧ nCrであることが言えます。
ここまではいいと思うのですが、次に nPrとの比較をしなければなりませんでした。

考え直します。。。
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こんにちわ。



比較的簡単に求められるかもしれません。

まず、nHr= (n+r-1)Crと書き下せるので、nHr≧ nCrであることが言えます。


となると、あとは、nΠrとの大小比較になりますが、
nを固定して数学的帰納法を用いれば nΠr≧ nHrと示せそうです。

[i] r= 1のときは、明らかに nΠr= nHr

[ii] r= kのとき nΠk≧ nHkが成り立つと仮定。
r= k+1のとき
nΠ(k+1)- nH(k+1)
≧ n* nHk- nH(k+1)
= ・・・

計算すると上記の差は 0以上になることが示されるので、
r= k+1でも nΠk≧ nHkが成り立つと言えます。


結果、
nΠr≧ nHr≧ nPr≧ nCr

となります。
ざざっと計算したので、計算間違いをしてたらすみません。^^;
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