底辺aの長さ、辺bの長さ、その間Cの角度から 三角形の面積と周囲の長さを求めます。
これに関して、以下2点の質問があります。

(1)検索して見つけてきましたが、この公式があっていますか?
  >面積=a×(b×sinC)÷2
  >周囲=a+b+√(aの2乗+bの2乗-2×a×b×cosC)

(2)公式利用の際に、角度Cが鋭角・直角・鈍角であることは関係しますか?
  それぞれ別の式を使う必要があるのか、すべて共通なのか、ということです。

プログラミングの練習課題に使います。三角関数について勉強しているわけではありませんので詳しい説明はなくてもかまいません。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

・90度は鋭角と同じということですよね



 そうです。

・第三項という言葉の意味が解らず…すいません。ここ√(aの2乗+bの2乗-2×a×b×cosC)のことでしょうか?ここをプラスに変える必要がある、という理解でいいですか?

  位置はそのとおりです。自動的に符合が変わるので何もいじる必要はありません。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。

マイナスになるのはcosという事でした。たとえ正負がどうなってても平方根でプラスになります。ということですね!(やっと解った!)だから、この公式は特に鋭角・直角・鈍角に関係なく使える!ということ。
ほんとうにありがとうございます。これでやっとプログラムの練習に戻れます!

お礼日時:2011/04/14 15:16

1)正解です(^_^)



2)関係します。90度を超えるとコサインが負になりますから、第三項がプラスになりますね。

ただプログラミングするときには鋭角についての公式で組んでおけば鈍角は自動的に対応したことになりますよ。

この回答への補足

回答ありがとうございます^^
まったく高校数学の記憶がないので、しつこく確認させてください。

・90度は鋭角と同じということですよね
・第三項という言葉の意味が解らず…すいません。ここ√(aの2乗+bの2乗-2×a×b×cosC)のことでしょうか?ここをプラスに変える必要がある、という理解でいいですか?

補足日時:2011/04/12 18:18
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どんな三角形でもこのやり方で計算が出来たと思うのですが、
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『三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、単純に6×6÷2』
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6cmは高さで無くて、一辺の長さですから、あなたはそこを勘違いしています。
直角三角形なら一辺を高さと見なせますが、直角を持たない場合は直角を作り出す作業が必要に成ります。
正しい計算法では、垂線の高さを計算で求めていて、それによって垂線と底辺とで直角を作り、2等分されて出来た二つの三角形の面積を三平方の原理から算出しています。
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久しぶりに楽しい問題に出会いました。

底辺の長さも測れるものとします。これをcとします。
円この半径をr、中心角を2tとすると
2辺の和が円弧になるので
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円の中心をO,底辺の両端をA,Bとすると?OABにおいて
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方法はテーラー展開

sint=t-t^3/6+t^5/120-....  (4)
正しくは無限に続きますが、5次の項まで取ります。

(4)を(3)に代入して整理すると

t^4-20t^2+120(1-p)=0

これはt^2に関する2次方程式、よって解けて
t^2=10-√(120p-20)
t=√(10-√(120p-20))

精度の確認のための例題
a=50, b=35, c=75 のとき
p=0.882353
t=0.8556646
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sint/t=0.8827172

(3)よりこれはp=0.882353に等しいはず。3桁まであってます。

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先ほどの例題では
r=(a+b)/2t=85/(2×0.8556646)=49.669
cost=√(1-sint^2)=√(1-0.75522323^2)=0.655467675
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参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node63.html

Q底辺・高さ一定(面積一定)の三角形の二辺を求める式

☆前提条件
 ・鋭角三角形ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下した垂線の足を点Hとおきます。
 ・辺ABの長さを“L”、辺CHの長さを“h”、辺AHを“x”、辺AC+辺CBの長さを“y”とおきます。
  ※これより条件として 0<x≦L/2 が出ます。


☆質問
 このL、hが一定の時の『x=f(y)』、もしくはシンプルな形の『y=f(x)』を知りたいです。


☆質問に際して
 この条件で y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) となるのはわかるのですが、このままでは最終的な目的のために計算がしにくく(後述)不都合なため、他の計算方法がないものか、ヘロン、三角関数(この場合変数が更に増えてしまい…)等も考えてみたのですが、どれも計算しきれずお手上げ状態で、皆様のお力をお貸し願えないか、という次第です。


☆最終的な目的(この質問に行き当たった経緯)
 一定長に張った弦の下に駒を置き、駒を動かす事により音程を変える。
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 質問の値とこの目的における値との関係は、一定長の弦の長さがLとなり、駒の高さがhとして、駒の位置変化xによる総弦長がyとなっています。


☆この質問に関して…
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 キーワード設定が悪かっただけかもしれませんが。

 本来の目的を考えると、xが0に近づくと、張力は非常に大きくなってしまうため、本来のxは「“ある程度以上”よりL/2まで」なので、近似式でも問題ないようであれば近似式でも良いです。
 ただし、弦長はあくまでも簡単に持ち運びができ、なおかつ1オクターヴは表現したいため、張力変化のあまり影響のない範囲で、という近似は不可と願います。(Lは最大1m程度と考えています。)
 逆に音の変化を確実にするため、hを小さくすることは不可能ではないため、こちらの上限を考えた方が早いようであればその計算方法等でも問題ございません。

 なお、複雑な(?)公式等を使う必要がある場合は、ある程度その説明や参考URL等を載せておいていただけると助かります。
 こんな変なことを考えるのは好きなのですが、決して数式等に強いわけではないので、大変ご面倒をおかけします…。

 また、こういった質問コーナーの回答でよく見かける、「計算で出さず、実測した方が早いですよ」等の至極当然のお答は、大変申し訳ございませんが求めておりませんのでお断りさせていただきたく思いますm(_ _)m
 あくまで計算で求めたい、というのが目的ですので、大変失礼だとは思いますが、よろしくお願いいたします。
 ただし、excelのソルバー等を利用して「こうすれば求まるのでは?」というアドバイス等はありがたく頂戴いたします。
 最終計算式がややこしく、何ともならないようであればそれも仕方ないのか…とは思っておりますので。






 以上、注文も多く、文才がないため文章がややこしい質問ですが、どうぞお力添えのほどよろしくお願いいたします。

☆前提条件
 ・鋭角三角形ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下した垂線の足を点Hとおきます。
 ・辺ABの長さを“L”、辺CHの長さを“h”、辺AHを“x”、辺AC+辺CBの長さを“y”とおきます。
  ※これより条件として 0<x≦L/2 が出ます。


☆質問
 このL、hが一定の時の『x=f(y)』、もしくはシンプルな形の『y=f(x)』を知りたいです。


☆質問に際して
 この条件で y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) となるのはわかるのですが、このままでは最終的な目的のために計算がしにくく(後述)不都合なため、他の計算方法がないも...続きを読む

Aベストアンサー

< ANo.5
の数値例についての蛇足。

>L=40, x=5, h=4 。
> y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) = 41.63
> ya=L*{1 + (h^2/{2x(L-x) })] = 41.83 (近似誤差 約 0.5 % )

に対する
< ANo.7 のカーブ・フィッティングで得られた「実験式」の一例です。

 dy = k*|(L/2)-x|^3
 y = y_min + dy
   k = 2.54(E-4), y_min = 40.79
L=40, x=5, h=4 の結果は、
 y = 41.65 (近似誤差 約 0.05 % )

…数値は僅差ですけど、近似誤差は一桁改善されました。

  

Q三角形の面積の求めかた

友人に頼まれ、問題を解いたのですが答えがあっているのかいまいち自信が持てません。
間違った答えを教えるのも心苦しいので、こちらで数学の得意な方に答えあわせをしていただければと思い質問を立てました。

図が表示できないので少し面倒かもしれませんが、助けてくださると嬉しいですm(_ _)m
よろしくお願いいたします


三角形ABCにおいて、AB=2√3、∠A=75°、∠B=45°である。
また、頂点Aから辺BCに引いた垂線がBCと交わる点をHとする。
この時三角形ABCの面積を求めなさい。


私は三角形ABHと三角形AHCの面積をそれぞれ求め、
三角形ABCの面積は 3+√3 になりました。

Aベストアンサー

三角形ABHの面積は
(1/2) × AH × BH
=(1/2) × √6 × √6
=3

三角形ABCの面積は
(1/2) × CH × AH
=(1/2) × √2 × √6
=√3

三角形ABCの面積は3 + √3であっています。

Q角度θと斜辺の長さから底辺と対辺の長さの求め方を・・

すみません、「計算式」を教えて頂きたいのですが、

角度θと斜辺の長さが解っている垂直三角形から
底辺と対辺の長さの数字を求めるにはどう計算すればよろしいのでしょうか?

cosθ=底辺÷斜辺
sinθ=対辺÷斜辺
という式は見つけたのですが、これでは斜辺しか数値が解らず計算できません。

また、勘違いしているかもなのですが
sin=対辺 cos=底辺 tan=斜辺 の事ですよね?
sinθ cosθ tanθとは底辺と角度を掛けた(?)物という意味なのでしょうか?

ここを読んでこい 的なリンクだけのご回答でも全然構いませんので、
何か教えて下さると幸いです。

Aベストアンサー

言葉がずいぶん違うので間違っていたらごめんなさい。

直角三角形で三角関数は定義されます。
底辺の長さは斜辺かけcosθで求められます。角度θからcoθを求めるのは数表か関数電卓が要ります。

Q三角形の3辺だけ長さが分かってる時に面積を求める公式は?

三角形の3辺だけ長さが分かってる時に面積を求める公式は?

例えば画像で
三角形BCDの面積求まりますか?
低次元な質問ですみません。

Aベストアンサー

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詳細は「ヘロンの公式」で検索してみてください。

Q三角形の二辺と面積から、残りの一辺を求める

三角形の二辺(a,b)と面積(S)の数が明らかな場合、残りの一辺(c)を求めるには、どのような計算ですか?

Aベストアンサー

S=(1/2)ab*sinθ
からsinθを求める。

(cosθ)^2=1-(sinθ)^2
を使ってcosθ を求める。

余弦定理で
c^2=a^2+b^2-2ab*cosθ

手順は長いけどこちらのほうが確実
ヘロンの公式はこれを逆に使ってまとめたものですから
元をたどれば同じことになりますが
かえって面倒になりそうです。

Qこの三角形の面積を求める問題を教えてください。

この三角形の面積を求める問題を教えてください。
問題は
円X^2+y^2=1と点(-2、0)を通る直線との二つの交点をP,Qとする。B(1、0)として、
三角形BPQの面積の最大値を求めよ。
です。
僕はまずP,Qの座標を文字に置いて三角形BPQの面積を求め、微分しようとしたんですが計算量が膨大になってしまいました。
P,Qの座標をそれぞれ文字に置くのではなく、もっと何かいい方法があるのではないかと思いました。
何かヒントはありませんか?

Aベストアンサー

計算ミスを誘発する問題ですね。

まず、ANo.3氏
解と係数の和のところがケアレスミス。p+q=-4m^2/(1+m^2)

単位円とy軸との交点をC(0,1)とおき、
直線ACとの交点で面積を考えると、P(-4/5,3/5), Q(0,1), B(1,0) だから、
面積S=(1/2)3(1-3/5)=3/5=0.6
したがって、面積の最大値Smは少なくとも, Sm≧0.6
なので、ANo.5氏の(√2)/8 も誤り。

ANo.4氏の最大面積1/4 も誤り。

そこで、1つずつ確認しましょう。

面積の式は、直線の傾きをm とすると、
ANo.2氏の考えで、
S=(1/2)3{m(β+2)-m(α+2)}  ただし、β>α
=(1/2)3m(β-α)

(β-α)^2
=(α+β)^2-4αβ
={-4m^2/(m^2+1)}^2-4{(4m^2-1)/(m^2+1)}
=4(1-3m^2)/(m^2+1)^2

β-α=2√(1-3m^2)/(m^2+1)

したがって、
S=(3m/2)2√(1-3m^2)/(m^2+1)
 =3m√(1-3m^2)/(m^2+1)

S^2=9m^2(1-3m^2)/(m^2+1)^2

m^2=u とおけば、
S^2=9u(1-3u)/(u+1)^2

これで、極値を求めると、u=1/7
0<u<1/3 を満たしている。
したがって、
  m=±1/(√7)

面積の最大値は、S_max=3/4

計算ミスを誘発する問題ですね。

まず、ANo.3氏
解と係数の和のところがケアレスミス。p+q=-4m^2/(1+m^2)

単位円とy軸との交点をC(0,1)とおき、
直線ACとの交点で面積を考えると、P(-4/5,3/5), Q(0,1), B(1,0) だから、
面積S=(1/2)3(1-3/5)=3/5=0.6
したがって、面積の最大値Smは少なくとも, Sm≧0.6
なので、ANo.5氏の(√2)/8 も誤り。

ANo.4氏の最大面積1/4 も誤り。

そこで、1つずつ確認しましょう。

面積の式は、直線の傾きをm とすると、
ANo.2氏の考えで、
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Q任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには??

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

Aベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む


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