正八角形のベクトル

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質問者：leona14
質問日時：2011/04/15 17:19
回答数：2件

点Ｏを中心とする円に内接する正八角系ＡＢＣＤＥＦＧＨにおいて
ベクトルＯＣをベクトルＯＡとベクトルＯＢを使ってあらわせ。
という問題がありました。
解説では、
「図のように二等辺三角形を利用して考えるとわかりやすい」という解説があり、
ＡＯ、ＢＨの交点をＭとすると
ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
＝√２（ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ）
＝－ＯＡ＋√２ベクトルＯＢ・・・・答え

という流れだったのですが、そもそも、図添図のような二等辺三角形が作られる
のかがわかりません。
三角形ＢＭＯが二等辺三角系とわかるのは、
（ＡＯ、ＢＨの交点をＭとすると）
角ＯＭＢが９０度で、角ＭＯＢが３６０÷８＝４５度で
残りの角ＭＢＯも４５度だからですか？

また、辺ＢＥとＣ、Ｄから降ろした垂線とでつくる三角形が（それぞれの交点を
Ｉ、Ｊとします）
二等辺三角形なのはなぜでしょう？
例えば三角形ＢＩＣに注目するとすると、角ＢＩＣは９０度っていうのはわかります。
もしかして、角ＩＣＤが９０度で、８角系の角度は１３５度なので、
角ＢＣＩ＝１３５－９０＝４５度。残りの角ＣＢいも４５度ってことでしょうか？

ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
＝√２（ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ）
＝－ＯＡ＋√２ベクトルＯＢ
までの解答の流れなんですが。。。。

ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
への変形がイマイチわからないのですが、もしかして
辺ＢＭと辺ＣＯは平行で、
辺ＯＣ＝ＯＢなので、
ベクトルＯＣ：ベクトルＭＢ＝辺ＯＢ：辺ＭＢ＝√２：１
よって、ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢってことですか？

また、ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
＝√２（ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ）の過程なのですが、
ベクトルＭＢ＝ベクトルＯＢ－ベクトルＯＭ
まではわかるのですが、そこからなぜベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ
になるのかがわかりません。
ベクトルＯＭが１/√２ベクトルＯＡに変形したと思うのですが、
辺ＯＡ＝辺ＯＢなので
ベクトルＯＭ：ベクトルＯＡ＝辺ＯＭ：辺ＯＡ＝１：√２
よてベクトルＯＭ＝１/√２ベクトルＯＡ
よってベクトルＭＢ＝ベクトルＯＢ－ベクトルＯＭ＝ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡということでしょうか？

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No.2ベストアンサー

回答者： tomokoich
回答日時：2011/04/15 18:42

すべて書かれている通りで考え方は正しいと思います

ようは二等辺三角形の辺の比が1:1:√2になるのでそれを使っているということです

- 0
- 件

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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。
すっかりお礼をしたつもりになっていました。。。

内容正しくて安心しました。
。ありがとうございました。

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お礼日時：2011/07/07 17:51

No.1

回答者： Tacosan
回答日時：2011/04/15 18:02

ざっと流し読みした感じではすべてその通り.

でも, ちょっと考えれば
OA+OC=√2OB
が簡単に出そうな気がする....

- 0
- 件

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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。。。。T_T
すっかりお礼をしたつもりになっていました。。。
申し訳ないです。。。
でも、おかげで解決できました。ありがとうございました。

通報する

お礼日時：2011/07/07 17:51

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このとき固有値と固有ベクトルの図形的意味はどういう意味なのでしょうか？大学で学んだのですがいまいち理解できませんでした。

Aベストアンサー

まず、行列の意味を考えて見ます。

行列(2,2|2,5)にベクトル(1,1)を作用させます。すると、

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となります。もとの(1,1)と出てきた(4,7)は長さも違いますが方向も違います。このように、一般に行列にベクトルを作用させると長さと方向が異なるベクトルになります。

ここまでよろしいでしょうか？このように、行列は一般にベクトルを回転させるものであることを抑えて置いてください。

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(2,2...続きを読む

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Aベストアンサー

　
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　　平行移動の場合、非束縛ヴェクトルつまり普通のヴェクトルは、（ｘ，ｙ）も、（ｘ－ａ，ｙ－ｂ）も同じことだったので（始点が一緒に移動すれば同じヴェクトルです。この場合、原点（０，０）を始点として、（ｘ，ｙ）を考えていたところ、原点が（ａ，ｂ）に移動しても、（ｘ－ａ，ｙ－ｂ）から（ａ，ｂ）へと向かうヴェクトルになるので、実質ヴェクトルの成分は、（ｘ，ｙ）で同じなのです……図を描いて考えて見てください。言葉では、なかなか分かりにくいです。ａ，ｂ，ｘ，ｙなどに具体的な数を入れて考えると分かり易いです）。
　
===============================================================
　　（以下、回転の場合の話で、パスしても構いません）
　
　　ところが、座標軸の回転が起こると、例えば、原点を始点にした普通のヴェクトルの場合、（ｘ，ｙ）がたまたま（０，１）つまり、Ｘ軸の成分が０で、Ｙ軸成分が１の場合を例に考えると、座標軸が４５度反時計回りにまわると、以前のＸ，Ｙ軸と４５度の傾きに新しい座標ができ、元のヴェクトルは、（√２，√２）になります（これも図を描いて確認してください。言葉では分かりにくいです）。
　
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===============================================================
　　
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Q正八角形の全ての頂点を結ぶ直線を引いた時にできる三角形の数

「正八角形の全ての頂点を直線で結んだ時にできる三角形の数（重なってできる三角形も含む）はいくつでしょう？」
という問題で、正解は608個になるそうです。

正解だけは教えてもらったのですが、何故そうなるのかがわかりません。
ネットで調べたり、友達に相談したり、私なりに出来る限りのことはしたつもりなのですが、わかりません。

数学が苦手な私でもわかるように説明していただける方がもしいらっしゃれば是非教えていただきたく、質問いたします。

このままでは、三角形ノイローゼで、こんにゃくもはんぺんも食べられなくなります；；

Aベストアンサー

面倒なだけの問題かと思いましたが、考えてみると、なかなか良い問題ですね。＾＾
答えは６０８でなく、６３２個になると思います。

最初に確認ですが、頂点を結ぶ直線は、八角形の外にはひかないのですね？つまり、対角線を引く、ということで良いですね？
（頂点を結ぶ「直線」をすべて引けば、三角形は２０００個ほど出来ます）

まず、その図は正確に描いてありますか？

対称性を考えて描くと、一番長い４本の対角線は全て一点（中心）で交わり、一番長い対角線について対称な、２本の二番目に長い対角線が、一番長い対角線上で交わるという状況がありますね。

それを考慮して描くと、対角線の交点は、真ん中に１個、その周りに正八角形の形に８個、その正八角形の少し外に８個、一番外の（一番短い）対角線上に３２個、という形ですね。

特に、真ん中の点は４本の対角線が交わっていること、その周りの小さな正八角形を作る点では３本の対角線が交わっていることに注意です。

それが描けたら、対称性を利用して数えるだけです！

頑張って数え上げてもいいですが（僕は最初そうやりました。二回ミスして、最終的に６３２個が出ました。何度も見直して、一時間くらい？かかりました）、こうやると良いです。

三角形を作る対角線・辺のつくる「形」に着目します。

図を描けないので、うまく説明できるか心配ですが、

３本の辺・対角線で、三角形が出来ているとき、
出来る三角形の頂点が、
Ａ３つとも正八角形の頂点であるとき
Ｂ２つが正八角形の頂点、１つが内部にあるとき
Ｃ１つが正八角形の頂点、２つが内部にあるとき
Ｄ３つとも内部にあるとき
で場合分けして考えます。

Ａは、全体が三角形になっています。
Ｂは三角形のある頂点から、二辺を延長した形になります。〆のような形です。
Ｃは三角形の２つの頂点から、辺を延長した形です。Ａの横棒を左右に伸ばしたような形です。
Ｄは、三角形の３つの頂点から、辺を全て延長した形です。

辺・対角線の端点となる正八角形の頂点の個数は、
Ａ３個、Ｂ４個、Ｃ５個、Ｄ６個
となっています。

さて、
Ａは、正八角形の頂点から、３個選ぶ選び方だけあります。
つまり、8C3＝５６個です。（8C3は、異なる８個の中から３個を選ぶ選び方（組み合わせ）の個数です。組み合わせは高校１年で習いますが、これは知っているものとします）

Ｂは、正八角形の頂点を４個選ぶと、Ｂのような形になる辺・対角線の結び方が４通りあるので、（×を描いて、そこから二点を結んで三角形を作る方法が４通りある）、8C4×4＝２８０個。

Ｃは、正八角形の頂点を５個選ぶと、Ｃのような線の引き方は５通りあるので、（星型をかいてみると、Ｃの形の三角形が５つある）、8C5×5＝２８０個

Ｄは、正八角形の頂点を６個選ぶと通常１個出来るが、＜３本の線が１点で交わるときには、三角形は出来ない＞。
３本の線が１点で交わるような交点は、真ん中の点か、その周りの８点のみ。
真ん中の点で交わる３本の対角線の組み合わせは、４本から３本選んで、4C3＝４通り。
周りの８点で交わる三本の対角線は、それぞれ一組ずつあるから、
三角形が出来ない３本の対角線の組み合わせは、４＋８＝１２通り。
よって、Ｄは、8C6－12＝28－12＝１６個。

Ａ～Ｄをあわせて、５６＋２８０＋２８０＋１６＝６３２個となります。

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Q量子力学においてベクトルポテンシャルが重要になってくる意味は？

量子力学ではポテンシャルはベクトルポテンシャルのみが
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最初の前提からベクトルポテンシャルを考える、入っており
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Aベストアンサー

なんか誤解されているような。

量子論でもスカラーポテンシャルは必要だし、古典論でもベクターボテンシャルは必要ですよ。ベクトルポテンシャルもゲージを変えたらスカラーポテンシャルになったりしますよ。量子化の詳細やゲージ変換などを勉強されると良いと思います。

古典場の理論を勉強するには、ランダウリフシッツの場の古典論なんかがいいんじゃないでしょうか。記法が古臭いのがいただけませんのですけど。

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Q数学の質問です！1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする(1)四面体OBC

数学の質問です！

1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする
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と言う問題なのですが、正四面体の頂点Aから底面の△BCDに垂線AHを下ろして正四面体ABCDの体積Vを求める手順までは分かるのですが、V'=1/4×Vで求めるのが意味わからないです。なぜV'がVの1/4になるのでしょうか？

どなたかご解説お願い致します！！

Aベストアンサー

Oが円の中心になるので、円の面積は1/2（半径×半径×π）、体積はその２乗になるので「1/2×1/2＝1/4」になる。
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左固有ベクトルの幾何学的意味は，何でしょうか？

できれば直観的な説明を教えていただければ，幸いです．また，以下の記述におかしなところがありましたらご指摘願います．

右固有ベクトルに関しては，分かり易いです．右固有ベクトルuは，行列Aに右側から掛けられますから，Aによる変換を「受ける」立場にあります．変換「する」のはA，変換「される」のはuです．その幾何学的意味は，変換されも方向は変わらず（要素間の値の比は変わらず），大きさだけが変化する（各要素が，等しくL倍になる．このLが固有値）ということです．2次元あるいは3次元座標を紙に書いて，図示による説明も分かり易いです．

一方，左固有ベクトルvは，行列Aの左側に位置しますから，変換を「受ける」のはAのほうです．変換「する」のはv，変換「される」のはAです．変換の結果，a次正方行列であるAは，1行a列行列になります．その幾何学的意味は，？？？

よろしくお願い致します．

Aベストアンサー

「幾何学的に」「直観的に」ということなので、例えば、３次元座標空間内で言うと、
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点の取り方によらず、Ａによる変換の前後では一定の比になります。
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三角形ABCの外接円の中心をOとするとき次のことを示せ。 OAベクトル＋OBベクトル＋OCベクトル＝OHベクトルである点Hをとると、Hは三角形ABCの垂心である。という問題で、解答として

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と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
その証明の仕方を教えてください。

Aベストアンサー

こんにちわ。

＞と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
なぜ、このように考えましたか？

まず、いまの問題で与えられている条件を整理してみてください。
・「三角形ABCの外接円の中心をOとする」⇒ OA＝ OB＝ OC
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これらの条件を組み合わせるだけで証明はできますよ。＾＾

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Q固有値・固有ベクトルの物理的意味

初歩的質問です。行列に出てくる「固有値」「固有ベクトル」の物理的意味を分かりやすく教えてください。

Aベストアンサー

　具体例を3つあげます。(4)は一般論です。

(1)直行行列
　xとyをベクトル，行列Ａを直交行列，y＝Ａxとします。この場合Ａの固有値は１（一般には±１）、固有ベクトルはＡが表す原点まわりの回転の回転軸となります。何故なら、#1さんの仰るように、固有ベクトルは変換Ａで動かないベクトルなので、回転の場合動かないのは、その回転軸です。また原点まわりの回転では、原点からの距離も不変なので、回転軸の倍率も１となります。

(2)振動方程式
　振幅の余り大きくない振動の微分方程式は、x"＝Ａxとなります。ここでx"は、ベクトルxの時間に関する2階微分です。Ａが対角形でないと解きにくいので、Ａを対角行列に変換します。Ａの固有ベクトルを並べた行列をＳとすると、相似変換、
　　y"＝Ｓ(-1)ＡＳy，x＝Ｓy　　(a)
が得られます。ここでＳ(-1)はＳの逆行列、yはy＝Ｓ(-1)xで定義されるベクトル，Ｓ(-1)ＡＳは固有値が対角成分に並んだ対角行列です。よって式(a)のyの各成分は、他成分と連成しない（連動しない）分離された単振動の微分方程式となり、固有値の√は、おおくの場合、この振動系の固有振動数と呼ばれます。
　この分解は、振動系x"＝Ａxのフーリエ分解とおおよそ等価です。固有振動数は位相スペクトルに対応し、yの各成分が振幅スペクトルに対応し、x＝Ｓyで得た解は、xのフーリエ分解とみなせます。

(3)構造の座屈方程式
　構造物の線形座屈現象は、「(Ａ－λＥ)x＝0がx≠0の解を持つ」というタイプの問題になります。ここでＥは単位行列，λはスカラーです。これはdet(Ａ－λＥ)＝0となるλとxを探すのと同じで、行列Ａの固有値問題そのものです。このときλは座屈荷重を表し、固有ベクトルxは座屈モードとなります。

　座屈荷重，座屈モードなどの用語はあえて説明しませんが、(1)～(3)より、「固有値・固有ベクトルの物理的意味」はケースバイケースです。そこで数学的な一般論を最後に付けます。

(4)一般論（ご存知でしたら、すいません）
　行列Ａは、ある線形写像fを表します。線形写像とは要するに、多次元に拡張された１次関数の事です。一つの線形写像fに対して、それを表す行列Ａは、じつは一つには定まりません。多次元（x-y-z-w-s-・・・軸で表せるもの）に入れる基底（座標軸）の方向によって、Ａは色々姿を変えます。ある基底から別の基底への変換行列をＳとした時、別の基底でＡは、Ｓ(-1)ＡＳという形になります。Ｓを特に固有ベクトルの方向に選ぶと、Ｓ(-1)ＡＳは対角形（準対角形）になります。これが、線形写像fの基本構造です（準同型定理と根空間への分解定理）。逆に、一つの対角（準対角）行列Ａに任意の正則行列Ｓで相似変換Ｓ(-1)ＡＳを行った結果の全体は、Ａに対応する線形写像fの表現行列全てです。従って「固有値と固有ベクトルが線形写像fの特徴づけを与える（fを定義してしまう）」ことになります。よって、固有値と固有ベクトルによって、その線形系の特徴を表せるので、(2)にように対角形に変換すると、急に問題の見通しが良くなります。ただし固有値と固有ベクトルの意味は、その見通しを得てから、物理的意味を考えるという順序が一般的と思えます。

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Qベクトルの問題(△ABCの外心…O,外接円の半径=1,4→OA+5→OB+6→OC=0のときのABの長さ)

表題の問題を解いてみたところ、ABを5:4に内分する点をDとして
→OD=→-2→OC/3　まで出たのですが、そこから先が分かりません。
答えは3/2らしいのですが、そもそも解き方が間違っているのでしょうか？
解答を書きづらいようでしたら、ヒントだけでも構いませんので教えて頂けると幸いです。

Aベストアンサー

>> 4↑OA+5↑OB+6↑OC=↑Ｏ
>> |↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=1
---------

6↑OC=-(4↑OA+5↑OB)、
|6↑OC|=|-(4↑OA+5↑OB)|　両辺を２乗して、
36|↑OC|^2=16|↑OA|^2+40↑OB・↑OA+25|↑OB|^2
36=16+40↑OB・↑OA+25
0=40↑OB・↑OA+5
-2↑OB・↑OA=(1/4)

AB^2=|↑OB-↑OA|^2
,,,,,,,,,,,=|↑OB|^2-2↑OB・↑OA+|↑OA|^2
,,,,,,,,,,=2+(1/4)=(9/4)

AB=3/2

お茶の水女子大学の出題だったと思いますが。