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点Oを中心とする円に内接する正八角系ABCDEFGHにおいて
ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBを使ってあらわせ。
という問題がありました。
解説では、
「図のように二等辺三角形を利用して考えるとわかりやすい」という解説があり、
AO、BHの交点をMとすると
ベクトルOC=√2ベクトルMB
=√2(ベクトルOB-1/√2ベクトルOA)
=-OA+√2ベクトルOB・・・・答え

という流れだったのですが、そもそも、図添図のような二等辺三角形が作られる
のかがわかりません。
三角形BMOが二等辺三角系とわかるのは、
(AO、BHの交点をMとすると)
角OMBが90度で、角MOBが360÷8=45度で
残りの角MBOも45度だからですか?

また、辺BEとC、Dから降ろした垂線とでつくる三角形が(それぞれの交点を
I、Jとします)
二等辺三角形なのはなぜでしょう?
例えば三角形BICに注目するとすると、角BICは90度っていうのはわかります。
もしかして、角ICDが90度で、8角系の角度は135度なので、
角BCI=135-90=45度。残りの角CBいも45度ってことでしょうか?

ベクトルOC=√2ベクトルMB
=√2(ベクトルOB-1/√2ベクトルOA)
=-OA+√2ベクトルOB
までの解答の流れなんですが。。。。

ベクトルOC=√2ベクトルMB
への変形がイマイチわからないのですが、もしかして
辺BMと辺COは平行で、
辺OC=OBなので、
ベクトルOC:ベクトルMB=辺OB:辺MB=√2:1
よって、ベクトルOC=√2ベクトルMBってことですか?

また、ベクトルOC=√2ベクトルMB
=√2(ベクトルOB-1/√2ベクトルOA)の過程なのですが、
ベクトルMB=ベクトルOB-ベクトルOM
まではわかるのですが、そこからなぜベクトルOB-1/√2ベクトルOA
になるのかがわかりません。
ベクトルOMが1/√2ベクトルOAに変形したと思うのですが、
辺OA=辺OBなので
ベクトルOM:ベクトルOA=辺OM:辺OA=1:√2
よてベクトルOM=1/√2ベクトルOA
よってベクトルMB=ベクトルOB-ベクトルOM=ベクトルOB-1/√2ベクトルOAということでしょうか?

「正八角形のベクトル」の質問画像

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A 回答 (2件)

すべて書かれている通りで考え方は正しいと思います


ようは二等辺三角形の辺の比が1:1:√2になるのでそれを使っているということです
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。
すっかりお礼をしたつもりになっていました。。。


内容正しくて安心しました。
。ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 17:51

ざっと流し読みした感じではすべてその通り.


でも, ちょっと考えれば
OA+OC=√2OB
が簡単に出そうな気がする....
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。。。。T_T
すっかりお礼をしたつもりになっていました。。。
申し訳ないです。。。
でも、おかげで解決できました。ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 17:51

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質問です。
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このとき固有値と固有ベクトルの図形的意味はどういう意味なのでしょうか?大学で学んだのですがいまいち理解できませんでした。

Aベストアンサー

まず、行列の意味を考えて見ます。

行列(2,2|2,5)にベクトル(1,1)を作用させます。すると、

(2,2|2,5)(1,1)=(2*1+2*1|2*1+5*1)=(4,7)

となります。もとの(1,1)と出てきた(4,7)は長さも違いますが方向も違います。このように、一般に行列にベクトルを作用させると長さと方向が異なるベクトルになります。

ここまでよろしいでしょうか?このように、行列は一般にベクトルを回転させるものであることを抑えて置いてください。

さて、こんどは固有ベクトル(-2,1)で同じことをして見ます。

(2,2|2,5)(-2,1)=(2*(-2)+2*1|2*(-2)+5*1)=(-2,1)

同じベクトルになりました。なので、このベクトル(-2,1)は行列を作用させても回転していません。ベクトルを定数倍しても同じ結果になりますから、(-2,1)と同じ方向のベクトルはすべて回転しないことになります。

このように、ある行列に対してベクトルを回転させない特殊な方向が固有ベクトルの向きです。

同じように、こんどは固有ベクトル(1,2)で同じことをして見ます。

(2,2|2,5)(1,2)=(2*1+2*2|2*1+5*2)=(6,12)= 6×(1,2)

ベクトル6×(1,2)は(1,2)と同じ方向ですから、やはりベクトルは回転していないことが分かります。ただし、その長さは6倍になっています。この倍数が固有値です。前の(-2,1)のときは同じベクトルですから1倍、これを強調して書けば1×(-2,1)で、実は、固有値が1だったということです。

これを難しく言えば、ANo.1さんが書かれている(1)、(2)になります。

まず、行列の意味を考えて見ます。

行列(2,2|2,5)にベクトル(1,1)を作用させます。すると、

(2,2|2,5)(1,1)=(2*1+2*1|2*1+5*1)=(4,7)

となります。もとの(1,1)と出てきた(4,7)は長さも違いますが方向も違います。このように、一般に行列にベクトルを作用させると長さと方向が異なるベクトルになります。

ここまでよろしいでしょうか?このように、行列は一般にベクトルを回転させるものであることを抑えて置いてください。

さて、こんどは固有ベクトル(-2,1)で同じことをして見ます。

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になる理由は、
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Q期待値について

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確率変数Xの期待値は X=Xkとなる確率がpk(i=1,2,3,・・・,n)のとき
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このままでは、三角形ノイローゼで、こんにゃくもはんぺんも食べられなくなります;;

Aベストアンサー

面倒なだけの問題かと思いましたが、考えてみると、なかなか良い問題ですね。^^
答えは608でなく、632個になると思います。

最初に確認ですが、頂点を結ぶ直線は、八角形の外にはひかないのですね?つまり、対角線を引く、ということで良いですね?
(頂点を結ぶ「直線」をすべて引けば、三角形は2000個ほど出来ます)

まず、その図は正確に描いてありますか?

対称性を考えて描くと、一番長い4本の対角線は全て一点(中心)で交わり、一番長い対角線について対称な、2本の二番目に長い対角線が、一番長い対角線上で交わるという状況がありますね。

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特に、真ん中の点は4本の対角線が交わっていること、その周りの小さな正八角形を作る点では3本の対角線が交わっていることに注意です。

それが描けたら、対称性を利用して数えるだけです!

頑張って数え上げてもいいですが(僕は最初そうやりました。二回ミスして、最終的に632個が出ました。何度も見直して、一時間くらい?かかりました)、こうやると良いです。

三角形を作る対角線・辺のつくる「形」に着目します。

図を描けないので、うまく説明できるか心配ですが、

3本の辺・対角線で、三角形が出来ているとき、
出来る三角形の頂点が、
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B2つが正八角形の頂点、1つが内部にあるとき
C1つが正八角形の頂点、2つが内部にあるとき
D3つとも内部にあるとき
で場合分けして考えます。

Aは、全体が三角形になっています。
Bは三角形のある頂点から、二辺を延長した形になります。〆のような形です。
Cは三角形の2つの頂点から、辺を延長した形です。Aの横棒を左右に伸ばしたような形です。
Dは、三角形の3つの頂点から、辺を全て延長した形です。

辺・対角線の端点となる正八角形の頂点の個数は、
A3個、B4個、C5個、D6個
となっています。

さて、
Aは、正八角形の頂点から、3個選ぶ選び方だけあります。
つまり、8C3=56個です。(8C3は、異なる8個の中から3個を選ぶ選び方(組み合わせ)の個数です。組み合わせは高校1年で習いますが、これは知っているものとします)

Bは、正八角形の頂点を4個選ぶと、Bのような形になる辺・対角線の結び方が4通りあるので、(×を描いて、そこから二点を結んで三角形を作る方法が4通りある)、8C4×4=280個。

Cは、正八角形の頂点を5個選ぶと、Cのような線の引き方は5通りあるので、(星型をかいてみると、Cの形の三角形が5つある)、8C5×5=280個

Dは、正八角形の頂点を6個選ぶと通常1個出来るが、<3本の線が1点で交わるときには、三角形は出来ない>。
3本の線が1点で交わるような交点は、真ん中の点か、その周りの8点のみ。
真ん中の点で交わる3本の対角線の組み合わせは、4本から3本選んで、4C3=4通り。
周りの8点で交わる三本の対角線は、それぞれ一組ずつあるから、
三角形が出来ない3本の対角線の組み合わせは、4+8=12通り。
よって、Dは、8C6-12=28-12=16個。

A~Dをあわせて、56+280+280+16=632個となります。

面倒なだけの問題かと思いましたが、考えてみると、なかなか良い問題ですね。^^
答えは608でなく、632個になると思います。

最初に確認ですが、頂点を結ぶ直線は、八角形の外にはひかないのですね?つまり、対角線を引く、ということで良いですね?
(頂点を結ぶ「直線」をすべて引けば、三角形は2000個ほど出来ます)

まず、その図は正確に描いてありますか?

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Q画像の問題の二電力計法のベクトル図についてなのですが、ベクトル図の書き方が違うようです。 補足の考え

画像の問題の二電力計法のベクトル図についてなのですが、ベクトル図の書き方が違うようです。
補足の考え方のどこを間違えているのでしょうか

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主さんの考えはまったく正しいです。
相順と言うのは、相電圧Ea、Eb、Ecベクトルの位置関係を表わすのであって
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Q数学の質問です!1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする(1)四面体OBC

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Q異なる物理量成分を持つベクトルのノルム・内積

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そこで別のこれら定義を行うのでしょうが,困ってしまっております.
どのように定義するのかについて,宜しくご教授下さい...

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このベクトルがヒルベルト空間の元であって欲しいのですが,
成分毎の次元が異なっており,上記で悩んでしまっております.
私が初歩的なところを体得していないからだと思います,ご叱正覚悟しております..

Aベストアンサー

mmkyです。
参考まで
(位置,速度)=(x, dx/dt)でプロットした位相空間中ということですが、位置は物理量ではありません。ある点を示すというラベルのようなものです。だから取り扱うことは出来ると思います。つまり、(x, dx/dt)は、ラベルxでの速度というような取り扱いです。

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ということで、(x1-x2)も(x1*x2)もラベル(物理単位なし)で取り扱えば
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参考まで

Q三角形ABCの外接円の中心をOとするとき次のことを示せ。 OAベクトル

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その証明の仕方を教えてください。

Aベストアンサー

こんにちわ。

>と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
なぜ、このように考えましたか?

まず、いまの問題で与えられている条件を整理してみてください。
・「三角形ABCの外接円の中心をOとする」⇒ OA= OB= OC
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・垂心とは、各頂点から対辺に対して引いた垂線の交点である。⇒垂線と辺は直交する。

これらの条件を組み合わせるだけで証明はできますよ。^^

Q行列 行ベクトル 列ベクトル について

行列は見方を変えるとベクトルの集まりだと考える事ができる
と思います。

質問なのですが、
X=(x1,x2)
Y=(y1,y2)
というベクトルを行列として見ると、
(x1 x2)
(y1 y2)
のように表されると思います。


ここで質問なのですが、

行列は、行ベクトルを縦に並べたもの、又は列ベクトル
を横に並べたものと説明がありました。


列ベクトルとはXベクトルを
(x1)
(x2)
と表したベクトルだと理解しています。
テキストにもこのように記載されています。


列ベクトルを横に並べたものとは、
(x1 y1)
(x2 y2)
となって上の行列と違います。


それとも、列ベクトルとは、
(x1)
(y1)
の事ですか?
(x1)
(y1)
ってどんなベクトルなんでしょうか?
与えられた(仮定した)ベクトルは、
X=(x1,x2)
Y=(y1,y2)
ですよね・・・
良くわかりません・・・

列ベクトルを横に並べたものと言う説明がおかしいの
でしょうか?
列ベクトルとはどのようなものか教えて頂けないでしょうか?

行列の積を考える場合、それぞれの型を考えて行列を作ります。
(X Y)(x1 x2)
(y1 y2)

(x1 y1)(X)
(x2 y2)(Y)

今回は、行列だけなので、
(x1 x2)
(y1 y2)

(x1 y1)
(x2 y2)
は、行列式も同じになるので特に困った事には成らないのでしょうか?
上の行列2つは転置行列になります。

X=(x1,x2)
Y=(y1,y2)
のベクトルを行列として表す場合、
(x1 x2)
(y1 y2)
と表しても、
(x1 y1)
(x2 y2)
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以上、ご回答よろしくお願い致します。

行列は見方を変えるとベクトルの集まりだと考える事ができる
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X=(x1,x2)
Y=(y1,y2)
というベクトルを行列として見ると、
(x1 x2)
(y1 y2)
のように表されると思います。


ここで質問なのですが、

行列は、行ベクトルを縦に並べたもの、又は列ベクトル
を横に並べたものと説明がありました。


列ベクトルとはXベクトルを
(x1)
(x2)
と表したベクトルだと理解しています。
テキストにもこのように記載されています。


列ベクトルを横に並べたものとは、
(x1 y1)
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Aベストアンサー

 #4です。

 #6さんなどが繰り返し仰っているのは、#4の自分の言葉で言えば、「行列が先にあって」です。行列が先にあって、その行列に従って、列ベクトルの集まりに分解したり、行ベクトルの集まりに分解するのが筋です。

 実際行列は、列ベクトルの集まりとか、行ベクトルの集まりとかでは定義されてないはずです。行列の定義はあくまで(ちょっと省略して書きますが)、

  A=(aij)   (1)

のはずです。ここで「i」は行番号,「j」は列番号と「決めます」(決められてます)。ただ、

  A=(aji)

みたいな表記をたぶん見たのだと思います。これは初見では非常にわかりにくいのですが、

  B=(bij)   (2)

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  bij=aji

であるという行列(bij)を表しています。つまり、bij=ajiなんだから、

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で何が悪い!という訳ですが、(2)を念頭に置きつつ(1)と(3)を比較すると、「あっ、BはAの転置なのね」と逆にわかる、という仕掛けになってます。これは慣れです。

 #4です。

 #6さんなどが繰り返し仰っているのは、#4の自分の言葉で言えば、「行列が先にあって」です。行列が先にあって、その行列に従って、列ベクトルの集まりに分解したり、行ベクトルの集まりに分解するのが筋です。

 実際行列は、列ベクトルの集まりとか、行ベクトルの集まりとかでは定義されてないはずです。行列の定義はあくまで(ちょっと省略して書きますが)、

  A=(aij)   (1)

のはずです。ここで「i」は行番号,「j」は列番号と「決めます」(決められてます)。ただ、

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Qベクトルの問題(△ABCの外心…O,外接円の半径=1,4→OA+5→OB+6→OC=0のときのABの長さ)

表題の問題を解いてみたところ、ABを5:4に内分する点をDとして
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解答を書きづらいようでしたら、ヒントだけでも構いませんので教えて頂けると幸いです。

Aベストアンサー

>> 4↑OA+5↑OB+6↑OC=↑O
>> |↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=1
---------

6↑OC=-(4↑OA+5↑OB)、
|6↑OC|=|-(4↑OA+5↑OB)| 両辺を2乗して、
36|↑OC|^2=16|↑OA|^2+40↑OB・↑OA+25|↑OB|^2
36=16+40↑OB・↑OA+25
0=40↑OB・↑OA+5
-2↑OB・↑OA=(1/4)

AB^2=|↑OB-↑OA|^2
,,,,,,,,,,,=|↑OB|^2-2↑OB・↑OA+|↑OA|^2
,,,,,,,,,,=2+(1/4)=(9/4)

AB=3/2

お茶の水女子大学の出題だったと思いますが。


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