3次方程式
x^3+px^2+qx+r=0
の3つの解を α,β,γ とするとき,
D=(α-β)^2 (β-γ)^2 (γ-α)^2
を p,q,r を用いて表すと、
D=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2
となるらしいのですが、計算が複雑すぎて答えが合いません。どうやって導くのでしょうか?

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A 回答 (3件)

計算は大変だけど、整理していけばなんとかなるでしょう。



α+β+γ=-p
αβ+βγ+γα=q
αβγ=-r

(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)=α^2β+αβ^2+β^2γ+βγ^2+γα^2+γ^2α+3αβγ
より
α^2β+αβ^2+β^2γ+βγ^2+γα^2+γ^2α=3r-pq

(α+β+γ)^3=α^3+β^3+γ^3+3(α^2β+β^2γ+γ^2α+αβ^2+βγ^2+γα^2)+6αβγ
より
α^3+β^3+γ^3=-p^3-3(3r-pq)+6r=3pq-p^3-3r

(αβ+βγ+γα)^3=α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3+3αβγ(α^2β+β^2γ+γ^2α+αβ^2+βγ^2+γα^2)+6(αβγ)^2
より
α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3=q^3+3r(3r-pq)-6r^2=q^3+3r^2-3pqr

D=(α-β)^2(β-γ)^2(γ-α)^2
={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
=(αβ^2+βγ^2+γα^2-α^2β-β^2γ-γ^2α)^2
=(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)^2-4(αβ^2+βγ^2+γα^2)(α^2β+β^2γ+γ^2α)
=(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)^2-4{α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3+αβγ(α^3+β^3+γ^3)+3(αβγ)^2}
=(3r-pq)^2-4{q^3+3r^2-3pqr-r(3pq-p^3-3r)+3r^2}
=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

模範的な解法で参考になります。
友人は、対称式の次数で式の形を類推して、数値代入法で解いたと言っていました。

お礼日時:2011/04/17 23:21

終結式を利用する計算もあるかと・・・



a0・x^3+p・x^2+q・x+r=0

f(x)=a0・x^3+p・x^2+q・x+rとすれば
f'(x)=3・a0・x^2+2・p・x+q
でa0=1なので判別式Dは終結式をR(f,f')で表すことにすれば

D = (-1)^3・R(f,f')=-R(f,f')で求められる。
R(f,f')を行列式表示すると
|1 p q r 0|
|0 1 p q r|
|3 2p q 0 0|
|0 3 2p q 0|
|0 0 3 2p q|
・・・(5行5列)となるから行列式の基本変形によって行(または列)で展開するとかして計算出来そうな次数まで下げていけばよいと思う!
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この回答へのお礼

ありがとうございます

終結式の方法はNo1で紹介されたサイトに書いてありました。

お礼日時:2011/04/17 05:01

2次の項を0にするように変換してから計算し元へ戻します。



参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomia …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

2次の項を0にするように変換してから判別式を計算するのはいいとしても、
そこのサイトには「2次の項が0でない判別式に戻す」方法は書かれていないと思いますし、
また、元に戻す方法が賢明とはいえないと思うのですが。

お礼日時:2011/04/17 03:43

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x^2+2(2x)+3=0の判別式を

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とすると、

D/4=2^2-1・3・・・☆

D/4>0・・・★


だから、この二次方程式は異なる2つの実数解をもつ。

(★で使われた『D/4』は『D』としてもよい。)


上記の間違いを教えてください。




この質問に次のAさんとBさんが異なる意見をしていますが、どちらが正しいんですか?


Aさんの意見:判別式はあくまでも b^2-4ac であり、判別式をDとおいたからこそD/4が☆のように計算できる。判別式を「D/4」としたら☆の左辺は「D/16」となる。

Bさんの意見:DもD/4も判別できるからD/4も判別式と考えられる。


出来るだけ、詳しく分かりやすい回答をお願いします。

Aベストアンサー

元の回答(#5さんへの補足のURL)を、質問者殿が誤って要約しているので、更に誤解を招いていますね。


そもそも、元の回答例が (★で使われた『D/4』は『D』としてもよい。) など曖昧なことが書かれているので、そのURLのA,Bの方は、それが間違い、もしくは誤解の元、と指摘しているように見受けられます。少なくとも、私には、それぞれが対立したことを言っている様には見えません。


与えられた課題を

x^2+2(2x)+3=0の判別式を Dとすると、D/4=2^2-1・3 と表すことが出来る。

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A、B両氏もそれを指摘しているのだと思います。

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D/16=2^2-1・3
と書かないと辻褄が合わなくなってしまうので、それでは何かおかしくないか?、ということをおっしゃっています。

B氏の、「D/4も判別式と考えられる」の意図も、判別式をDとすると、D/4でも判別が可能になる、という意味のことおっしゃっています。

ご参考に。

元の回答(#5さんへの補足のURL)を、質問者殿が誤って要約しているので、更に誤解を招いていますね。


そもそも、元の回答例が (★で使われた『D/4』は『D』としてもよい。) など曖昧なことが書かれているので、そのURLのA,Bの方は、それが間違い、もしくは誤解の元、と指摘しているように見受けられます。少なくとも、私には、それぞれが対立したことを言っている様には見えません。


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Aベストアンサー

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方程式ではなく多項式に対して定義される。
正しくは、「二次多項式の判別式」というはず。
その上で、二次式 axx+bx+c の判別式は bb-4ac。
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だとすると、問題で、「異なる二つの正の解をもつとき」と書かれていた時は、実数の正の解が二つと考えればいいのでしょうか?

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高校数学において、2次方程式は係数が実数の場合を問題にします。
ご指摘のα=iとβ=4iが解の場合、解と係数の関係から、元の方程式は
a{x^2-5ix-4)=0となり、aを0以外のどんな数にしても係数がすべて実数になることはありません。

実数係数で無い場合はそもそも判別式の意味がかわってきます。本来代数方程式の判別式とは、重解があるかどうかを判別するためのものです。ただ実数係数の2次方程式の場合、特にそれ以外のことも判別できる、というものです。

ここで注意するのは、実数係数とはっきりことわってあることです。
高校段階での判別式の導き方が解の公式の√の中である以上、そこが正か負かで虚数がでてくるのを判定しているのですから、虚数を代入すると無意味になりますね。

最後に虚数に正負はありません。正と負は0との大小関係ですが、例えばi>0
とすると両辺に正の数をかけても大小関係はかわらないので、i×i>0×iとなるはずですが、実際は-1>0という間違った式になります。つまり正負、大小の関係は虚数にはないのです。

>だとすると、問題で、「異なる二つの正の解をもつとき」と書かれていた時は、実数の正の解が二つと考えればいいのでしょうか?

その通りです。

高校数学において、2次方程式は係数が実数の場合を問題にします。
ご指摘のα=iとβ=4iが解の場合、解と係数の関係から、元の方程式は
a{x^2-5ix-4)=0となり、aを0以外のどんな数にしても係数がすべて実数になることはありません。

実数係数で無い場合はそもそも判別式の意味がかわってきます。本来代数方程式の判別式とは、重解があるかどうかを判別するためのものです。ただ実数係数の2次方程式の場合、特にそれ以外のことも判別できる、というものです。

ここで注意するのは、実数係数とはっきりことわっ...続きを読む

Qxの3次方程式 x^3 -3ax^2 +3a^3 +3a -2a =

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f`(x)= 3x^2 -6ax
= 3x(-2a)

0<a より 0<2a

以上より、次の増減表を求めました。

x :…| 0 |…| 2a |…
f`(x):+| 0 |-| 0 |+
f(x) :↑|極大|↓|極小|↑

※↑は斜め右上上がり、↓は斜め右下下がりを示す。


ここまで、求めたのですがこの後どうすればよいのかよく分りません。

解までの手順を分りやすく説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

微分の問題の基本なんだが。

(1) 相異なる3つの実数解を持つ条件 (極大値)*(極小値)<0
(2) 2つの実数解(重解+1つの実数解)をもつ条件 (極大値)*(極小値)=0
(3) 1つの実数解(2つの虚数解+1つの実数解)をもつ条件  (極大値)*(極小値)>0

何故このようになるかは、各々の場合のグラフを書いてみれば、すぐ分かるだろう。


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