3次方程式
x^3+px^2+qx+r=0
の3つの解を α,β,γ とするとき,
D=(α-β)^2 (β-γ)^2 (γ-α)^2
を p,q,r を用いて表すと、
D=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2
となるらしいのですが、計算が複雑すぎて答えが合いません。どうやって導くのでしょうか?

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A 回答 (3件)

計算は大変だけど、整理していけばなんとかなるでしょう。



α+β+γ=-p
αβ+βγ+γα=q
αβγ=-r

(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)=α^2β+αβ^2+β^2γ+βγ^2+γα^2+γ^2α+3αβγ
より
α^2β+αβ^2+β^2γ+βγ^2+γα^2+γ^2α=3r-pq

(α+β+γ)^3=α^3+β^3+γ^3+3(α^2β+β^2γ+γ^2α+αβ^2+βγ^2+γα^2)+6αβγ
より
α^3+β^3+γ^3=-p^3-3(3r-pq)+6r=3pq-p^3-3r

(αβ+βγ+γα)^3=α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3+3αβγ(α^2β+β^2γ+γ^2α+αβ^2+βγ^2+γα^2)+6(αβγ)^2
より
α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3=q^3+3r(3r-pq)-6r^2=q^3+3r^2-3pqr

D=(α-β)^2(β-γ)^2(γ-α)^2
={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
=(αβ^2+βγ^2+γα^2-α^2β-β^2γ-γ^2α)^2
=(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)^2-4(αβ^2+βγ^2+γα^2)(α^2β+β^2γ+γ^2α)
=(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)^2-4{α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3+αβγ(α^3+β^3+γ^3)+3(αβγ)^2}
=(3r-pq)^2-4{q^3+3r^2-3pqr-r(3pq-p^3-3r)+3r^2}
=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

模範的な解法で参考になります。
友人は、対称式の次数で式の形を類推して、数値代入法で解いたと言っていました。

お礼日時:2011/04/17 23:21

終結式を利用する計算もあるかと・・・



a0・x^3+p・x^2+q・x+r=0

f(x)=a0・x^3+p・x^2+q・x+rとすれば
f'(x)=3・a0・x^2+2・p・x+q
でa0=1なので判別式Dは終結式をR(f,f')で表すことにすれば

D = (-1)^3・R(f,f')=-R(f,f')で求められる。
R(f,f')を行列式表示すると
|1 p q r 0|
|0 1 p q r|
|3 2p q 0 0|
|0 3 2p q 0|
|0 0 3 2p q|
・・・(5行5列)となるから行列式の基本変形によって行(または列)で展開するとかして計算出来そうな次数まで下げていけばよいと思う!
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この回答へのお礼

ありがとうございます

終結式の方法はNo1で紹介されたサイトに書いてありました。

お礼日時:2011/04/17 05:01

2次の項を0にするように変換してから計算し元へ戻します。



参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomia …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

2次の項を0にするように変換してから判別式を計算するのはいいとしても、
そこのサイトには「2次の項が0でない判別式に戻す」方法は書かれていないと思いますし、
また、元に戻す方法が賢明とはいえないと思うのですが。

お礼日時:2011/04/17 03:43

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Q数学基礎~判別式を使った解答の仕方~

x^2+2(2x)+3=0の判別式を

D/4・・・★

とすると、

D/4=2^2-1・3・・・☆

D/4>0・・・★


だから、この二次方程式は異なる2つの実数解をもつ。

(★で使われた『D/4』は『D』としてもよい。)


上記の間違いを教えてください。




この質問に次のAさんとBさんが異なる意見をしていますが、どちらが正しいんですか?


Aさんの意見:判別式はあくまでも b^2-4ac であり、判別式をDとおいたからこそD/4が☆のように計算できる。判別式を「D/4」としたら☆の左辺は「D/16」となる。

Bさんの意見:DもD/4も判別できるからD/4も判別式と考えられる。


出来るだけ、詳しく分かりやすい回答をお願いします。

Aベストアンサー

元の回答(#5さんへの補足のURL)を、質問者殿が誤って要約しているので、更に誤解を招いていますね。


そもそも、元の回答例が (★で使われた『D/4』は『D』としてもよい。) など曖昧なことが書かれているので、そのURLのA,Bの方は、それが間違い、もしくは誤解の元、と指摘しているように見受けられます。少なくとも、私には、それぞれが対立したことを言っている様には見えません。


与えられた課題を

x^2+2(2x)+3=0の判別式を Dとすると、D/4=2^2-1・3 と表すことが出来る。

と書けば、無用な誤解はなくなりますし、D/16云々なんていう意味のない議論※を招くこともなくなると思います。
A、B両氏もそれを指摘しているのだと思います。

※A氏が言っている内容を否定しているのではありません。判別式を”D/4”と定義すると、与式の判別式を計算する時に、
D/16=2^2-1・3
と書かないと辻褄が合わなくなってしまうので、それでは何かおかしくないか?、ということをおっしゃっています。

B氏の、「D/4も判別式と考えられる」の意図も、判別式をDとすると、D/4でも判別が可能になる、という意味のことおっしゃっています。

ご参考に。

元の回答(#5さんへの補足のURL)を、質問者殿が誤って要約しているので、更に誤解を招いていますね。


そもそも、元の回答例が (★で使われた『D/4』は『D』としてもよい。) など曖昧なことが書かれているので、そのURLのA,Bの方は、それが間違い、もしくは誤解の元、と指摘しているように見受けられます。少なくとも、私には、それぞれが対立したことを言っている様には見えません。


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x^2+2(2x)+3=0の判別式を Dとすると、D/4=2^2-1・3 と表すこと...続きを読む

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

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-------------------------------------------------------
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No1です。

>ただ、.testに対して実行されるタイミングでは確実にappendされて
>います。
それだったら、こういう(↓)記述にはらないのでは?
>$(function(){
>$("div.test").click(function(){  ~~~


クリックしてappendし、その後クリックすれば背景が変わる例。
(No2でも書いたように、クリックするたびにappendされます。)
<html>
<head>
<script type="text/javascript" src="js/jquery-1.2.6.min.js"></script>
<script type="text/javascript"><!--
function app(){
$(".class").append("<div class=test style=\"height:100;\">test word</div>");
$("div.test").click(function(){
this.style.backgroundImage = "url(./img/test.gif)";
});
}
// --></script>
</head>
<body>
<div class="class">here</div>
<button onclick="app()">append実行</button>
</body>
</html>

No1です。

>ただ、.testに対して実行されるタイミングでは確実にappendされて
>います。
それだったら、こういう(↓)記述にはらないのでは?
>$(function(){
>$("div.test").click(function(){  ~~~


クリックしてappendし、その後クリックすれば背景が変わる例。
(No2でも書いたように、クリックするたびにappendされます。)
<html>
<head>
<script type="text/javascript" src="js/jquery-1.2.6.min.js"></script>
<script type="text/javascript"><!--
function app(){
$(".clas...続きを読む

Q3次方程式 x^3+3x^2+(a-4)x-a=0 の異なる解は2つであるようにaの値

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★3次方程式 x^3+3x^2+(a-4)x-a=0 の異なる解は2つであるように、定数aの値を定めよ。

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No4です。

SiS 650_651_740
ということですので、SiS社のグラフィックチップというのは、基本的にゲーム向きでは無い上、チップによってはDirectXの能力を十分に使うことができません。

No5の方が書かれているように風神録であれば、
常駐アプリケーションを切る、メモリ増設等で何とかなるかもしれませんし、緋想天は弄っても、かなり厳しいでしょう。

また一体型ということですので、物(本体部分が大型の物だったり等)によっては換装が可能かもしれません。

>nVIDIAか、RADEONというのもわからないですし
>GeForce6000というのもよくわからないです;すいません
「nVIDIA」と「RADEON」はグラフィックチップメーカで、PCゲームのほとんどが、この両社どちらかのチップを使っているグラフィックボードが搭載されていることを前提として作られています。

そのためこの2社のチップのグラフィックボードはゲーム用グラボの代名詞となっています。
逆にこれら以外のチップを搭載しているPCは、DVD鑑賞や動画編集、EXCEL、WORD等の事務作業向けに作られている場合がほとんどで、グラフィック性能をワザと落として、価格や発熱量を抑えています。
(ゲーム用のグラフィックボードは高性能な分、発熱量もすごいため、そもそもノートPCなどに向かない)

GeForce6000というのはnVIDIA社が開発したグラフィックチップの名称のこと。RADEON社は自社の名前をそのままチップ名に持ってきています
(RADEON HD2600XT)など

No4です。

SiS 650_651_740
ということですので、SiS社のグラフィックチップというのは、基本的にゲーム向きでは無い上、チップによってはDirectXの能力を十分に使うことができません。

No5の方が書かれているように風神録であれば、
常駐アプリケーションを切る、メモリ増設等で何とかなるかもしれませんし、緋想天は弄っても、かなり厳しいでしょう。

また一体型ということですので、物(本体部分が大型の物だったり等)によっては換装が可能かもしれません。

>nVIDIAか、RADEONというのもわからな...続きを読む

Qxの3次方程式 x^3 -3ax^2 +3a^3 +3a -2a =

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f(x)= x^3 -3ax^2 +3a^3 +3a -2a とおき。
f`(x)= 3x^2 -6ax
= 3x(-2a)

0<a より 0<2a

以上より、次の増減表を求めました。

x :…| 0 |…| 2a |…
f`(x):+| 0 |-| 0 |+
f(x) :↑|極大|↓|極小|↑

※↑は斜め右上上がり、↓は斜め右下下がりを示す。


ここまで、求めたのですがこの後どうすればよいのかよく分りません。

解までの手順を分りやすく説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

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>Best regards は間違いですか。

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下記御参照ください。
http://eow.alc.co.jp/best+regards/UTF-8/

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(※) x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
となります。そこでy=x+1/xとおきます。ここがポイントです。そうするとy^2=x^2+1/x^2+2となるので、上の(※)式は
y^2+y-1=0
に書き直すことができます。これはただの二次方程式なので、これを解くと二つの実数解、α、βが出てきます。(これぐらいはご自身で計算してください)
そうするとy=x+1/xとおいたわけですから、y=αあるいはβというとことは、
x+1/x=αあるいはβ
ということです。両辺にxをかけてやると二つの二次方程式
x^2-αx+1=0とx^2-βx+1=0
が得られます。結局もとの方程式は上の二つの二次方程式の解を集めた4つの解(すべて虚数解)になるということが分かります。これもただの二次方程式なので簡単に解くことができるはずです。

...と思いましたが、chiropy様が回答くださったようですね。

ちなみに、実数解が存在しないことだけを言うなら次のようにすることもできます。x=1が解にならないことは明らかなので、x-1≠0ですから、両辺にx-1をかけてやります。そうすると
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
となって、展開すればx^5-1=0、つまりx^5=1という5次方程式を得ることになります。当然x=1が解になるわけですが、これ以外に実数解はありえません。5乗して1になる実数は1だけです!というわけで、もとの方程式は5乗して1になる数のうち、実数でないものを求めなさい、ということとおんなじ問題なのでした。

要するに1の5乗根を求める問題なのですが、このような相反方程式には典型的な解法があります。覚えておかれると有益でしょう。x=0は解でないことは明らかです。したがって方程式の両辺をx^2で割ってみて、
(※) x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
となります。そこでy=x+1/xとおきます。ここがポイントです。そうするとy^2=x^2+1/x^2+2となるので、上の(※)式は
y^2+y-1=0
に書き直すことができます。これはただの二次方程式なので、これを解くと二つの実数解、α、βが出てきます。(これぐらいはご自身で計算してください)
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