線形代数で行列の「正則」で悩んでいます。
手持ちの線形代数の本ではどの本も 「正則」の「定義」が

正方行列 A に対して XA = AX = E(単位行列)
となる X が存在する場合 A は「正則」である。

と定義し、これを出発点として様々な定義を導いています。
これはこれでよいのですが、しかし、よく考えてみると

1) XA=E が存在する場合 A は正則とする(左逆行列による正則の定義)
2) XA=E が存在する場合AX'=E が存在する(右逆行列の存在定理)
3) X = X' (左逆行列 と 右逆行列の同一性の定理)

というように、定義は基本的な定義と2個の定理に
分解できるような気がします。
定理なら証明が必要と思い、いろいろ考えてみたのですが、
1),かつ2) ⇒ 3) は XAX' = X = X' なので簡単なのですが、
2) をどうしても証明できません。

そもそもこのような定義から出発するのは間違っているのでしょうか?
また、2)の証明が載っている参考書はありませんでしょうか?

以上よろしくお願い致します。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

齋藤正彦『線型代数入門』(東大出版、1966年)は


XA=AX=EとなるXの存在でAの正則性を定義(p.41)しつつ、
区分けや基本変形を説明した上で、
「XA=EとなるXが存在すればAは正則、AX=EとなるXの存在を仮定しても同様」(p.49)を証明してる。
ちなみに行列の次数に関する帰納法を使って。

この回答への補足

報告です。
斎藤さんの証明では、掃き出しと区分けを使ってn-1次で成り立つなら
n次 でも成り立つことを示すという筋書きですね。
予備的な証明が結構必要ですが、それでもシンプルで美しいと思います。

他にも、ネットを探っていたら
1) 左逆行列が存在する時、右からのガウスジョルダンが最後まで成功することを
基本行列の性質と行列の結合則を使って背理法で示す方法。
2) 余因子行列を行列式で割ったものが、右逆行列と左逆行列になることを
強引に泥臭く計算で示す方法

などがありました。ここでは配列の数式を書くのが困難なので、これで失礼します。

補足日時:2011/04/19 19:10
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
ひどく有名な本だとは知っていたのですが、
どうやら本日中に入手出来そうです。

お礼日時:2011/04/19 17:01

手元で何冊かあさってみましたが, あんまり触れている本はないですね.



逆に言えば全くないわけでもなく,
「基礎から学ぶ行列と行列式」(秋山献之ら著, 培風館)
には「XA = AX = E」で逆行列を定義した後で定理として「XA = E または AX = E ならば X は A の逆行列」と書いています (ただし証明はなし).

また, さらに古い本ですが
「線形代数とその応用」(G. ストラング著, 山口昌哉監訳, 井上昭訳, 産業図書)
では
「長方形行列については, (左右の逆行列のうち) 一方の逆行列は存在するが他方は存在しないが, 正方行列ではこのようなことはない」
(カッコ内は私が補足) と述べ, (ガウスの消去法に基づく) 概略を示しています.

もっとも, ケイリー・ハミルトンの定理を仮定していいなら簡単だけどね.
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q行列 線形代数 "diag"って何ですか?

ロボット制御のなかで,おそらく行列だと思うんですが,“diag”という記号が出てきました.何の事か分からないのでどなたか教えてください.

Aベストアンサー

diagは対角行列を出力する関数です。
例えば、diag(1,2,3)なら(1,1)成分は1、(2,2)成分は2、(3,3)成分は3で他は0の行列になります。

Q正方行列の逆行列と一般化逆行列の違い

今まで,逆行列を考えるときには,対象となる行列は正方行列でした.
しかし,一般化逆行列というものがあって,対象とする行列は正方行列で
なくても良いみたいなのですが,そうすると,逆行列を考えるときには
正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?
また,正方行列の逆行列と一般化逆行列の違いは何でしょうか?
一般化逆行列ではどのように逆行列を求めるのでしょうか?
ネット上を調べましたが,詳しく分からなかったため質問させて頂きました.
御存知の方は,教えてください.

Aベストアンサー

>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?

 いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

  Ax=b

において、Aがn×mで、n=m かつ detA≠0 なら、A^(-1)があるので、

  x=A^(-1)・b   (1)

と解が決まります。しかし応用上は、n=mとは限らない時も、けっこうあります。そのような時でも、(1)の形に解が書けたら便利だよなぁ~、というのが、たぶん事の発端です。
 n>mとします。この場合 x の次元はmで、bの次元はnとなり、条件過多になります。
 このような場合、とんでもない幸運により、解 x が存在する時もありますが、存在しない時の方が普通です。しかし応用上は、なんらかの近似解は必要になります。そこで残差ノルム最小条件、

  |b-Ax|^2=最小

をたいてい使います。これによって定まる x は一意です。具体的には、

  A^T・Ax=A^T・b

と変形します(^Tは転置です)。A^T・A は、Aのランクがmならmになり、det(A^T・A)≠0 です。従って、残差ノルム最小条件下での解は、

  x=(A^T・A)^(-1)・A^T・b

となり、(A^T・A)^(-1)・A^T は、n>mの時のAの一般逆行列の一種です(#2さんの最小二乗型)。
 参考書ですが、#1さんの「伊理正夫,一般線形代数」は、厚くて高いけど良書です。私は、次の本を紹介します。

 線形代数―行列とその標準形 (シリーズ新しい応用の数学 16) (単行本),伊理 正夫 (著), 韓 太舜 (著)

 この本は、「伊理正夫,一般線形代数」より(いくらか)薄くて安くて簡単です。一般逆行列について、系統的に書かれた本は、日本語ではこれくらいだろうと思います。

>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?

 いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

  Ax=b

において、Aがn×mで、n=m かつ detA≠0 なら、A^(-1)があるので、

  x=A^(-1)・b   (1)

と解が決まります。しかし応用上は、n=mとは限らない時も、けっこうあります。そのような時でも、(1)の形に解が書けたら便利だよなぁ~、というのが、たぶん事の発端です...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報