大きな数の因数分解

高校数学１の範囲です。

x^2 - 62x + 792 を因数分解せよ、という問題があります。
792とか、62とか、大きい数字になると、まったく解けません。

たすきがけでやっては見るのですが、何度もといても、うまくいかず、結局解説をみて、なーんだ！って感じです。

たとえば、x^2 + x - 30　とかでしたら、たすきがけで、　‐５と６と、ぱっとわかります。
しかし、蒸気の大きな数の問題ですと、時間がかかりすぎです。

こういった問題を解くのに、コツはありますか？

わかる方いらっしゃったら是非おねがいします。

No.8 ベストアンサー 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/23 17:56

＞この問題では、794がプラスですが、逆に、マイナスである場合、どのように考えますか？

x^2-26x-792
だったら、

定数項の-792が負だから、2つの数は異なる符号で、差が26になる数を探す。

とりあえず40×14＝560
792より小さいので、もっと大きくする。
42×16＝672
もう少し。
44×18＝792
見っけ！

xの係数の-26が負だから、大きいほうが負で小さいほうが正。
(x-44)(x+18)

この回答へのお礼

おーすごい！
自分でも解いてみましたが、できました！
どうもありがとうございます。

ほかの回答者の皆様も、本当にありがとうございました。勉強がんばります。

お礼日時：2011/05/24 07:29

No.7 回答者： tadys 回答日時： 2011/05/23 09:02

どんな場合でも通用する方法は２次方程式の解の公式に放り込む方法です。

この場合、 x = (62 ±√（62^2 - 4*792))/2 = (62 ±√676)/2 になるので
676（676/4 = 169 でもよい）の平方根を求めれば良い。

この問題に特化するのであれば、
x^2 - 62x + 792 = (x-a)*(x-b) として a+b=62、a*b=792 から
足して偶数になるのでa、bはともに偶数かともに奇数かのどちらかになります。
掛けた数の一桁目が２であることから奇数は無く、aおよびbの一桁目は2、6あるいは4、8の組み合わせのどちらかになります。
a、bの小さい方は32を超えないので、二桁目の候補としては1、2、3のいずれかになります。
これらの候補12個に付いて計算すれば答えが得られます。

この回答へのお礼

解の公式をつかうとは、発想にありませんでした。
また、偶数・奇数という考え方、わかりやすいですね！
ありがとうございます。

お礼日時：2011/05/23 17:15

No.6 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/23 08:51

私の場合は、定数項の792が正だから、2つの数は同じ符号だから、足して62になる数を探す。

とりあえず32×30＝960
792より大きいので、2数を離す。
そして、下1桁が2になる組み合わせを探す。
34×28＝952
下1桁は2になったけど、まだ大きいから、2数の1桁の組み合わせは4×8をキープしたまま、更に離してみる。
44×18＝792
ラッキー！

xの係数の-62が負だから、両方とも負。
(x-44)(x-18)

って感じかなぁ。

この回答へのお礼

そういう考え方もあるんですね！ありがとうございます。
この問題では、794がプラスですが、逆に、マイナスである場合、どのように考えますか？
（質問の問題では、マイナスにしても、因数分解はできませんので、たとえばの話です。）

もし可能でしたら、アドバイスおねがいします。

お礼日時：2011/05/23 17:09

No.5 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/05/23 07:30

ぜんぜん大きくないです。

> 何度もといても、うまくいかず、結局解説をみて、なーんだ！って感じです。

単純に諦めるのが早すぎるだけだと思います。
たすきがけを順番に試していけば、答えにたどりつくことはわかっているんですよね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
144を素因数分解し、－62となるものを必死に探したのですがそれでも見つけられなかったんです。
ぜんぜん大きくないんですか・・・　無力さを実感しました。

お礼日時：2011/05/23 07:59

No.4 回答者： ezosikadnc 回答日時： 2011/05/23 04:59

例のような問題でしたら、

　792
2)396
2)198
2) 99
3) 33
3) 11

と逆割り算をして、和や差でx^2+〇x+□
の〇の部分が作れるものを探すといいと思います。

792=2×396
=2×2×198
=2×2×2×99
　 =...
というように、)の右側×その段までのすべての左側の積がもともとの数です。


解き方は人それぞれですので、質問者さんのしやすい求め方を見つけてみてくださいp(^^)q

この回答へのお礼

素因数分解すると、たくさんの候補がでてしまうのが難点でした。
解き方、工夫してみますね。ありがとうございます。

お礼日時：2011/05/23 08:11

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/05/23 04:25

　＃１です。

　ごめんなさい。表記にミスがありましたので訂正します。

＞　ですので、例えば a=2m, b=2×3^2×n (m,nは自然数）と置け、m,nは足して 62/2=31 掛けて 792/(2^2×3^2)=22 と関係になります。
（正）ですので、例えば a=2m, b=2×3^2×n (m,nは自然数）と置け、m,9nは足して 62/2=31 掛けて 792/(2^2×3^2)×9=198 と関係になります。

＞　ここまで小さくなれば、積の22の約数は(1,22),(2,11)の組み合わせしかありませんので見つけやすくなると思います。
（正）ここまで小さくなれば、mと9nの組み合わせは(1,198),(2,99),(11,18),(22,9)しかありませんので見つけやすくなると思います。

この回答へのお礼

補足ありがとうございます。
組み合わせに関しては、正直私には少し難しくって・・・
今すぐ理解するのはちょっときつそうです。
ノートにまとめてみたので、後日、しっかり復習して見ますね！
ご親切にどうもありがとうございました。

お礼日時：2011/05/23 08:16

No.2 回答者： inaraicefield 回答日時： 2011/05/23 04:19

私なりのコツですが

第3項の792は（x-○）（x-△）での○と△の掛け算だと分かりますよね
んで2項目の62は○と△の足し算

(1)適当に○＝６とすると△＝１３２→これでは○と△を足しても全然６２にならない
(2)じゃあ○＝１６あたりはどうか→△＝49.5（足して64.5、もう少しだな・・・）
(3)○＝18だと・・・△＝44（足したら丁度62だ、正解みっけ）

今後もっと複雑な因数分解をやるはめになるでしょうから、今のうちにしっかり勘を養っておいてください

この回答へのお礼

○と△で自分なりに考えてみました。予測して、どの数字だったらいけるのか？と考えることが必要なんですね。もっとなれて、間を養おうとおもいます。

お礼日時：2011/05/23 08:13

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/05/23 04:03

　与えられた問題のような場合、倍数に着目して考えて、見つけるべき数字を小さくしてはいかがでしょうか。

　　62　・・・2の倍数、3の倍数でない
　　　=2×31
　　792 ・・・4(=2^2)の倍数、9(=3^2)の倍数
　　　=2^3×3^2×11

　因数分解した式を(x-a)(x-b)としたとき、上記の手がかりから　a,bはともに2の倍数で、素因数の3^2はa,bのどちらか一方にだけあることが分かります。
　ですので、例えば a=2m, b=2×3^2×n (m,nは自然数）と置け、m,nは足して 62/2=31 掛けて 792/(2^2×3^2)=22 と関係になります。
　ここまで小さくなれば、積の22の約数は(1,22),(2,11)の組み合わせしかありませんので見つけやすくなると思います。

　よろしければ参考にしてください。