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単位円 x^2+y^2=1
楕円  (x/a)^2+(y/b)^2=1
があって,原点から半直線を引くと,円と楕円それぞれに交点が出来ますよね?
このとき,円との交点に楕円との交点を対応させる写像はどう書けますか?

A 回答 (4件)

#1です。


返答が遅くなってしまって、すみません。

>やりたいことは,勝手に単位円と楕円が与えられたときに,
>その間の写像を構成したいのです.
>なので,短辺,長辺が単位円の半径と一致しているとは限りませんよね.
そうですね。
先の添付のような位置関係は、ある意味まれですよね。
逆に、そこまで「持っていけばいい」と考えてみると

1) 単位円に対して、軸方向に対する拡大・縮小変換:Sx(a) or Sy(a)をおこない、
2) 回転変換:R(θ)で回転させて、軸を回し、
3) その後、平行移動する。

1)や 2)は、1次変換の行列として表すことができますね。
・x軸方向に a倍:Sx(a)= ( a, 0; 0, 1 )
・y軸方向に a倍:Sy(a)= ( 1, 0; 0, a )
・回転変換:R(θ)= ( cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ )

最後の平行移動は、単純に (x, y)→ (x-p, y-q)と表すことができます。

といったところだと思います。
「円→楕円への写像」の回答画像4
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円上の点にせよ、他の何にせよ、点 (x,y) と


原点を結ぶ半直線上の点は (cx,cy) ただし c>0
と書けます。この座標を楕円の式に代入すると、
c を未知数、x,y を定数とする二次方程式
となって、c の値が x,y を含む式で表せます。
写像の式を整理するとき、xx+yy=1 は
使っても使わなくてもよいでしょう。
いづれにせよ、円上にない点がどこへ移るか
指定されていないのですから、写像はひとつに
決まる訳ではありません。いくつもある解の中で
好きなものを選べばよいでしょう。
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円上の点(x,y)=(cost, sint)として


楕円上の点(X,Y)=(kcost,ksint)とおいて
k=±√(cos^2t/a^2+sin^2t/b^2)^(-1)
たとえばプラスなら
X=x/√(x^2/a^2+y^2/b^2)
Y=y/√(x^2/a^2+y^2/b^2)
と書けると思います
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こんばんわ。



>円との交点に楕円との交点を対応させる写像はどう書けますか?
添付の図でいえば、赤い直線と円周および楕円周との交点(点Pと点Q)を
対応させるということですよね?
難しくないのかもしれませんが、そもそもの写像が少し違うと思います。

添付の図にも書き入れていますが、
円→楕円の写像は、楕円の短径となる方向への拡大・縮小変換となります。
よって、対応している点は、点P→点Qではなく、点P→点Rとなります。

参考になれば、幸いです。
「円→楕円への写像」の回答画像1

この回答への補足

> naniwacchi さん

回答ありがとうございます.
図まで添付していただき,非常に見やすいです.

やりたいことは,勝手に単位円と楕円が与えられたときに,その間の写像を構成したいのです.
なので,短辺,長辺が単位円の半径と一致しているとは限りませんよね.
そう言った場合でも,その単位円から楕円への写像を一発で記述できますか?
はじめは単純に(x,y)→(ax,by)という対応関係を考えたのですが,よく考えると違う気がしまして・・・.

補足日時:2011/06/06 01:12
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