高校数学I、約数の個数についてです

お世話になります
Ｍ＝２＾a×３＾b
Ｎ＝２＾c×３＾d
Ｍの約数の個数が80、Ｎの約数の個数が72
Ｍ、Ｎの約数の個数が45です
a>=c
の条件の中で
a , b , c , d をもとんめる問題です
よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/14 13:51

Mの約数は

2^x×3^y (x,yは整数で0≦x≦a,0≦y≦b)
とあらわせます。
xは0,1,...,aのa+1通り、yは0,1,...,bのb+1通りありますのでその組み合わせは
(a+1)(b+1)通り
あります。

同様にNの約数の個数は
(c+1)(d+1)通り
あります。

M.Nの両方の約数(公約数)は全てM.Nの最大公約数の約数になります。
二つの数x,yのうち、大きくないほうの数をmin(x,y)とするとN,Mの最大公約数は
2~min(a,c)×3^min(b,d)
となります。a≧cであることからmin(a,c)=c、上記と同様に最大公約数の約数の個数は
(c+1)(min(b,d)+1)通り
となります。

題意より
(a+1)(b+1)=80
(c+1)(d+1)=72
(c+1)(min(b,d)+1)=45
となります。
c+1は72と45の公約数ですので考えられる数としては
1,3,9
しかありえません。
また、min(b,d)=dとすると2番目の式と3番目の式で矛盾が生じますのでmin(b,d)=b
よって
(c+1)(b+1)=45
となります。
上と同様な議論でb+1は
1.5
しかありえません。

c+1=1or3or9,b+1=1or5
となりますが、このうち掛け合わせて45になるものは一組だけです。

以下略。

No.2 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/06/14 14:02

（a+1)(b+1)=80

(c+1)(d+1)=72

(c+1)(b+1)=45


a=15　ｂ＝４　　ｃ＝８　ｄ＝７