システムメンテナンスのお知らせ

半径rの球の体積が4πr^3/3であることを利用して、半球の重心の位置を求めよ

上記の問題の詳しい解き方を教えて下さい。出来れば答えまで、宜しくお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

 球の対称性から考えて、半球の断面に垂直、かつ断面の中心(元の球の中心)を通る直線上に求める重心があることは明らかなので、断面の中心との距離を求めればいいことになります。


球を半割りにした断面をxy平面上に、断面の中心を原点におきます。xy平面に平行で、原点からzだけ離れた平面でこの半球を切るとその断面の式は
x^2+y^2=r^2^-z^2  (rは球の半径)
その断面積は
π(x^2+y^2)=π(r^2-z^2)
なので、この右辺を0からtまで積分した
π∫(r^2-z^2)dz (積分範囲は0~t)
を半球の体積の半分、つまり2πr^3/3と等しいとおいてtについて解けばいけると思います。
    • good
    • 2

半球の重心位置は、球の半径を r、


半球の断面の中心を垂直に貫く軸を x とし
原点を半球の断面の中心とする。
半球の密度をρとすると

x軸での重心位置=(∫ρx dv) / (∫ρdv)

(∫ρdv) は体積の ρ倍だから (2/3)πr^3ρ

dv を半球から厚みdxでx軸に垂直に切り取ったうすい円盤の体積とすると

dv = π(r^2-x^)dx

∫ρx dv = ∫πρ(r^2-x^)x dx (∫範囲 x=0~r)
=πρr^4/4

従って x軸での重心位置(球の中心からの距離)=(3/8)r
    • good
    • 2

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

人気Q&Aランキング