力の分解について

Question

θをなす斜面に質量mの物体がある

力の分解をすると、斜面方向にはmgsinθ、斜面と垂直方向にはmgcosθの力が働く

これをさらに水平方向に分解すると
mgsinθの場合は、水平方向にはmgcosθsinθ、垂直方向にはmg

mgcosθの場合は、水平方向にはmgcosθsinθ、垂直方向にはmgになると思います

これで分解はあってるんでしょうか
もしあってるなら、垂直方向にはmgが２つあるから斜面の上の物体は質量２ｍにならないのはなぜでしょうか

foomufoomu · Accepted Answer

こういうのは、図を描いてきちんと考えないと、間違えをしますよ。

＞θをなす斜面に質量mの物体がある
＞力の分解をすると、斜面方向にはmgsinθ、斜面と垂直方向にはmgcosθの力が働く
ここまでは、正しいです。

＞mgsinθの場合は、水平方向にはmgcosθsinθ、垂直方向にはmg
垂直方向は、mgsinθsinθ です

＞mgcosθの場合は、水平方向にはmgcosθsinθ、垂直方向にはmgになると思います
垂直方向は、mgcosθcosθ です

よって、垂直方向の合計は
mg(cosθ^2 + sinθ^2)
となって、めでたくmgに等しくなります。

doc_sunday · Answer

根本的な話をしますと、力を「分力」で表すのはあくまで人間の「仮想」であり、頭で考えただけで質量が増えたりしたら世の中面倒で堪りません。

htms42 · Answer

力Ｆを２つに分解したとします。
分解して得られた２つの力Ｆ１，Ｆ２は合わせて元の力Ｆと同等です。
分解した２つの力Ｆ１，Ｆ２を考えるのであれば元の力Ｆは消してしまわなければいけません。

元の力１つを考えるか分解して得られた２つの力を考えるかのどちらかです。

あなたは元の力Ｆを残したまま、分解した力Ｆ１，Ｆ２について考えています。力が３つあることになっています。Ｆ１、Ｆ２を合わせたものはＦと同じでしたから、Ｆ１，Ｆ２、Ｆの３つを合わせれば２Ｆになってしまうのです。

高校生がよくやる間違いです。
分解するたびに力が増えて行ってしまうのです。

rnakamra · Answer

>水平方向にはmgcosθsinθが逆方向にどちらも働いているから結果的には０になるのに
>斜面のθを大きくすると物体は斜面に沿ってすべるのはなぜでしょう

>mgsinθがあるのは分かるんですがmgsinθの水平分力はmgcosθの水平分力によって打ち消されるから水平には力が働いていないのに滑るのはおかしいと思ったんですが

これは、物体にかかるもう一つの力を無視しているために起こる間違いです。
斜面上に置かれた物体は斜面から押される力を受けています。接触面に垂直にかかる力であるため"垂直抗力"と呼ばれるものです。
今回の場合、垂直抗力は斜面に垂直な向き(上側)にmgcosθになります。
この垂直抗力と重力を合成すると斜面に沿って下向きの力になります。

foomufoomu · Answer

NO.4回答と似ていて異なるのですが

>水平方向にはmgcosθsinθが逆方向にどちらも働いているから結果的には０になるのに
もともと、水平方向の力は加えていないので（重力による鉛直方向の力だけが作用する）、力を分解して、合成したものが０になるのは、しごく当然のことです。

>斜面のθを大きくすると物体は斜面に沿ってすべるのはなぜでしょう

はじめの質問中の
＞力の分解をすると、斜面方向にはmgsinθ、斜面と垂直方向にはmgcosθの力が働く
のうち、斜面を垂直に押す力 mgCosθに対しては、斜面からの反力として、同じ大きさ、反対向きの力が発生します。
これは、mgCosθを打ち消してしまうので、結果としてmgSinθの力だけが残り、物体は斜面に沿って動き出します。
斜面に摩擦があるときはmsSinθと逆向きの力も発生する（大きさは同じとは限らない）ので、角度が少ないときは物体が動きません。

htms42 · Answer

>水平方向にはmgcosθsinθが逆方向にどちらも働いているから結果的には０になるのに
>斜面のθを大きくすると物体は斜面に沿ってすべるのはなぜでしょう

「斜面に物体を置くと物体は斜面に沿った運動をする、
物体に働いている重力は鉛直方向のはずなのに、どうしてだろう」

この問いが出発点です。
重力を２つの方向（斜面に平行、垂直）に分けて考えるのはこの問いから出てきています。
運動の生じる方向に力が働いているはずだ、その力は重力から出てきているだろうと考えているのです。
斜面に沿った運動が起こるということは斜面に垂直な方向の運動は生じないということです。だから斜面に垂直な方向には力が釣り合っていなければいけません。
斜面に垂直な方向には重力の斜面に垂直な成分と釣り合うような力が働いているはずだという判断がでてきます。
この力の名前を知らなくてもかまいません。そういう力が働いていなければいけないということが分かるのです。物体を置いた時に初めて生じます。その力が働いていなければ物体は斜面にめり込んで行くでしょう。「垂直抗力」という名前はその働きに対して後から付けたものです。
（人が地面に立っている場合でも同じです。重力しか働いていないのであればどんどん落ちて行きます。重力と釣り合うような力が地面から人に働いているはずだと考えます。これも「垂直抗力」です。地面の硬さから出てくる力でしょう。地面が柔らかければ少しめり込みます。地面の変形が起こっていることになります。）

斜面に沿った運動を考えるために斜面に平行な方向と垂直な方向の２つの方向に力を分解したのです。それをまた水平方向と鉛直方向に分解するということをなぜやらなくてはいけないのですか。やってみても元に戻るだけです。（「元に戻らなくてはいけないはずだ」ということで得られた式の検算に使うぐらいの意味しかありません。）

＃３に
「鉛直に働く重力Ｗを考えるか、その成分Ｗ１，Ｗ２を考えるかのどちらかである」と書きました。
実際に斜面の上に置いた時には斜面からの力が付け加わります。まさつが無ければ斜面に垂直です。それをＮとします。
上に書いた文章、「斜面に垂直な方向の力は釣り合っている」というのは分解した力について言っていることになります。Ｗ１，Ｗ2，Ｎの関係です。
分解する前の重力ＷとＮの２つでも同じ内容の事を表現することができるはずです。
その場合は「斜面から働いている斜面に垂直な力と重力とを合成してえられる力は、斜面に沿った方向に向いているはずだ」ということになります。

どちらの場合の図も教科書には出てきます。
でもこの２つの場合を重ねて書くと（１つの図の中に書き込んでしまうと）誤解が生じる場合があります。
力が合計４つあると受け取る生徒がかなりの数出てくるのです。
別々の図にするか、色を変えるか、配慮が必要です。

力の分解について

根本的な話をしますと、力を「分力」で表すのはあくまで人間の「仮想」であり、頭で考えただけで質量が増えたりしたら世の中面倒で堪りません。

こういうのは、図を描いてきちんと考えないと、間違えをしますよ。

力Ｆを２つに分解したとします。

>水平方向にはmgcosθsinθが逆方向にどちらも働いているから結果的には０になるのに

NO.4回答と似ていて異なるのですが

>水平方向にはmgcosθsinθが逆方向にどちらも働いているから結果的には０になるのに

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