可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか？
（１）０≦x≦１を満たす実数x
（２）任意の自然数N
（３）任意の実数R
回答よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： boiseweb 回答日時： 2011/07/09 12:46

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で，あえて，あさっての方向からツッコミを入れます．

たとえば，(1)について．
「０≦x≦１を満たす実数x」は，可算無限集合でも非可算無限集合でもありません．
そもそも，それは「集合」ですらありません．
「０≦x≦１を満たす実数x」とは何かと問われれば，たとえば 1/2 は答えのひとつです．でも，1/2 は集合ではありません．同様に， 1/3 も集合ではありませんし， π/4 も集合ではありません．

（専門家の方々へ：「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も集合をもって構成するのだから，個々の実数だって集合だ」というツッコミはなしでお願いします）

(2)の「任意の自然数N」というのも，意味がはっきりしません．多くの人は（少なくとも私は），単に（現在の文脈から離れて）「任意の自然数N」と書いてあるのを読んだら，「N は変数記号で， 1 とか 5 とかの自然数を N に代入しうる」，つまり「N=5 と仮定する，などと宣言して議論を続けることが可能」と解釈するでしょう．そういう意味で「任意の自然数N」というのなら，それは集合ではありません．(3)の「任意の実数R」も同様で，この書き方だと，多くの人は（少なくとも私は）R は実数を代入可能な変数記号と解釈するでしょう．

質問の文脈をわかっている人には，上述の私の見解は「意地悪」というか「屁理屈」と受け取られるかもしれません．しかし，「数学的対象を，誤解が生じないように正確に言語で記述する方法を身につける」ことも，大学における数学授業の目標のひとつとすべきだと，私は考えています．集合や論理を内容とする授業ならなおさらです．こういう「屁理屈」のツッコミを受ける余地のない数学的内容の記述方法を，大学レベルの数学を学ぶ学生は身につけるべきです．

(1)(2)(3)のような言い方で暗に「～をみたす対象全体の集合」を意味することは，数学者の間でもときどき使われる言葉遣いではあります．しかし，それはあくまで，文脈を共有できている専門家同士でのみ通用する，用語の濫用と理解すべきです．少なくとも，大学教員が授業の中でそのような言葉遣いをすることは厳に慎むべきと考えます．

No.4 回答者： masudaya 回答日時： 2011/07/09 09:19

簡単な本に遠山啓の”無限と連続”があります．

それの第1章を読めば,答えられるようになると思います．
この本自体200ページもなく,4章構成の1章分です．
それも,特にノートなど必要なく読めば分かる様に
書いてあります．
おもしろいのですぐに読めてしまうと思います．

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/09 09:10

特に(2)が判らないようだと、貴方はまだ

人に質問する段階まできていません。
解る解らない以前に、何らかの文献に
まず目を通すこと。勉強してみたことが
全くなければ、知らないのは当然です。

今回の質問に関しては、可算/非可算の前に、
「等濃度」について調べてみることを勧めます。
その際、「集合の濃度とは何か？」と考えると
おそらくワケが解らなくなりますから、
「集合と集合が等濃度だとはどういうことか？」
に絞って、理解することが大切です。
その上で、「濃度」そのものについては、
慣れると何となく解っ(たような気がし)てきます。

No.2 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/07/09 01:36

この質問文では、回答してみようがありません。

読み手に対して、意味が正しく伝わらない可能性が高い質問文です。
もう少し、表現と表記を工夫してください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/07/09 01:11

あなたはどっちだと思いますか? そしてその理由は?