重複組み合わせの問題の記述の仕方

『x+y+z=12を満たす正の整数x、y、zの組（x、y、z）は、全部で何組あるか。』
という問題は、○と仕切りの順列を使って解答することはできますか？
"正の整数の組"、"どの種類も少なくとも1個は取る"のタイプだと○と仕切りの順列を使った解答を見かけないのですが、記述が面倒なことになるんでしょうか？
自分としては、「まずx、y、zを1個ずつ取り、残りの9個の取り方を考える。9つの○と2つの仕切りの順列の総数に等しいから…」といった感じに考えるのが一番簡単で慣れてしまっているのですが、きちんとした記述の仕方がわからなくて悩んでいます。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/08/16 01:44

ちょっとゴメンよ。

お邪魔します。

これは、重複組み合わせを使うよりも・・・。と、一瞬思ったけど。

なるほどね、こっちのほうが早いか。

「正の整数」には０を含まないんだよね。

　＃これはいろいろと議論が・・・。
　＃あれは自然数だっけか？

9Ｈ3　ね。うまい方法だと思う。

こういうことでしょう？

　　　　○○｜○○○○○｜○○
　　　　　ｘ　　　　　　ｙ　　　　　　ｚ

上だと、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，６，３）　かな？

記述はそれでもいいと思うけど、ぱっと見た感じ

「１個ずつ取り～」を
「ｘ、ｙ、ｚについて、それぞれ１を当てはめて、１２－３＝９個の重複組み合わせを考える」

位でいいんじゃない？

9Ｈ3　＝　9+3-1Ｃ3-1　＝　11Ｃ2　通り。

でいいと思うよ。

（丸と仕切りの順列）＝（重複組み合わせ）なんだから。

出題者が見て分かる回答だったら何でもいい。　って言うのが多分結論。

もしも０を含む場合は、上記と場合分けで
ａ．１つ　０を含む　（１＋１１、２＋１０、３＋９・・・６＋６　で１１通りかな）
ｂ．２つ　０を含む　（これは簡単　３通り）
を、足せばいいんだね～～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/08/16 01:30

> ○と仕切りの順列を使って解答することはできますか？

考え方さえあっていれば、どんな方法でもOKです。

> 「まずx、y、zを1個ずつ取り、残りの9個の取り方を考える。9つの○と2つの仕切りの順列の総数に等しいから…」といった感じに考えるのが一番簡単で慣れてしまっているのですが、

次の3点をちゃんと明記しておけば、大丈夫だと思います。
・○の個数がx, y, zの値に対応
・仕切りでx, y, zの値を区切っている、
・最初からx, y, zに○を1個ずつ割り当てておく
文章の書き方は、質問者さんの書き方(引用した部分)のような感じで良いと思います。
言葉で書きにくいのであれば、図で説明してみるという手もあります。
どうしても不安なら、学校の先生に添削を頼んでみるのも良いと思います。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/16 01:25

「重複組み合わせ」という用語は、

0 個になる種類を許す場合の数を表しています。
nＨk = (n+k-1)Ｃk というヤツです。

そっちが有名ですから、
"どの種類も少なくとも1個は取る" タイプを考えるとき、
重複組み合わせに帰着させる説明がスムースなのでしょう。

仕切りの間に○が少なくとも１個ある…と考えても構いませんが、
それを処理するためには、仕切りと○の並んだカタマリを使う
のが普通なので、結局、○の個数を仕切りの個数だけ減らして
考えるのと同じことになります。