通過領域

先日質問しましたが回答をいただけなかったので再度投稿させていただきます。
大数II「座標」16の演習題の問題です。

実数tに対してC：y=x^2-2tx+2t^2-2t-3は放物線を表す。
tがt≧1で動くとき、Cが通過する範囲を求め、それを図示せよ。

というものです。
載っている解法では一文字固定で書かれいますが、
これを包絡線を使って解きたいと思っています。
しかしx≧1、x≦1のときに方程式が分かれるところの処理がよく分かりません。
どなたか解説していただけませんか

通過領域は包絡線を使うことでほとんどの問題が解けるようなことを聞いたのですが、
この問では一文字固定して解いた方が有効だということでしょうか？
通過領域はすべて包絡線に任せたかったんですけどだめでしょうか・・・

稚拙な質問をすいません
回答お願いします。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/23 00:24

曲線群が通過する領域を、包絡線だけで考えようというのは、

関数の値域を極値だけで考えるのと、似たようなものです。
極大極小が最大最小になっているかどうかの検討をしないと、
正しい答えは求まりません。
曲線群の式が複雑なものだと、全体像を把握するのがナカナカ
難しい場合もあって、包絡線が良い道案内になることもある
のだけれど、それで全てが済む訳ではない。
断面で考えて xy 平面への射影をつくる手順は、欠かせません。
断面をつくる面群は、xy 平面に垂直で xyt 空間を網羅する
ものであれば、平行平面群でなくてもかまいませんが、
平面群が、やはり扱いやすいでしょう。殊に、今回のように
もとの曲線群が y= という形になっていれば、x を固定して
…すなわち、yz 平面の平行な平面群での断面を考えるのが、
簡潔でやりやすいと思います。
断面での y の挙動を考えるとき、t で微分することは本質ではなく、
x を固定して t を動かしたときの y の値域が解ればよいだけです。
今回のように t の二次関数であれば、平方完成するだけで済みます。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/08/22 09:49

＞通過領域はすべて包絡線に任せたかったんですけどだめでしょうか・・・

中途半端な知識はむしろ、邪魔になる。オーソドックスにやれば良い。

tの2次方程式と見たら良いだろう。
f(t)＝2t＾2-2(x+1)*t＋(x＾2-y-3)＝0　が　t≧1の解を少なくても1つ持つ条件として求められる。
(1)　1個持つとき　f(1)≦0.
(2)　2個持つとき　判別式≧0、f(1)≧0　軸＝(x+1)/2≧1　

これらを図示するだけ。

＞一文字固定で書かれいますが

xを一時定数と見て、tの2次関数を平方方完成して、軸が　1より大きいときと　1より小さいとき　に、実数解を持つ条件を考えているだけではないか？

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/21 23:44

包絡線だけが境界になるとは限らないし、

包絡線の全体が境界の一部になるとも限らない。
使うとしても、偏微分一発⇒楽勝！とはならないので、
t を動かすと C がどう動くのかを
ちゃんと把握して行うことが重要。
たぶん、(x,y,t) が三次元空間の曲面をなすと見て、
xy平面への射影を考えるのがいい。
その際、三次元のままだと空間把握がたいへんだから、
適当な平面での断面図で考えると考えやすい。
xz 平面か yz 平面に平行な断面を使うと、
いわゆる一文字固定をしたことになる。

No.1 回答者： f272 回答日時： 2011/08/21 22:58

y=x^2-2tx+2t^2-2t-3

をtの式と見れば
2t^2-2(x+1)t+x^2-3-y=0
となって，この式の判別式を0とおく。
(x+1)^2-2(x^2-3-y)=0
y=(1/2)x^2-x-7/2
これが包絡線となる。この問題の場合はt≧1だから包絡線のx≧1の部分だけ有効で，
x≦1のときはy=x^2-2tx+2t^2-2t-3でt=1とおいたy=x^2-2x-3が通過領域の下限となる。