高２数学:図形と方程式

高２数学:図形と方程式
誰かわかる方教えてください(゜o゜；)

長方形ABCDと同じ平面上の点をPとする。このとき、等式PA^2＋PC^2＝PB^2＋PD^2が成り立つことを証明せよ。

なるべくわかりやすい証明をお願いします…(つд｀)汗

No.2 回答者： tkltk73 回答日時： 2010/04/30 22:48

点Pが長方形ABCDの辺ABの外側にあるとします。

点Pを通って辺ABに平行な直線を引き、その直線へ
点A、Bからそれぞれ垂線を下ろし、その交点をそれぞれ
点A'、B'とすると、四角形ABB'A'は長方形になります。
ピタゴラスの定理より、
PA＾２＝PA'＾２＋A'A＾２
PC＾２＝PB'^２＋B'C＾２
PB＾２＝PB'＾２＋B'B＾２
PD＾２＝PA'＾２＋A'D＾２
となり、
四角形ABCD、ABB'Aは長方形であることから
A'A＝B'Bであり、AD＝BCであることから
A'D＝A'A＋AD＝B'B＋BC＝B'C
となります。
これより、
PA^２＋PC＾２＝PA'＾２＋A'A＾２＋PB'＾２＋B'C＾２
　　　　　　　　　＝PA'＾２＋A'A＾２＋PB'＾２＋A'D＾２
PB＾２＋PD＾２＝PB'＾２＋B'B＾２＋PA'＾２＋A'D＾２
　　　　　　　　　＝PB'＾２＋A'A＾２＋PA'＾２＋A'D＾２
　　　　　　　　　＝PA'＾２＋A'A＾２＋PB'＾２＋A'D＾２
となり、
PA＾２＋PC＾２＝PB＾２＋PD＾２
ということになります。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#112109 回答日時： 2010/04/30 22:11

点A,B,C,D,Pの座標をそれぞれ(0,y),(0,0),(x,0),(x,y),(a,b)とおくと，

PA^2＝a^2＋(y－b)^2，PB^2＝a^2＋b^2，PC^2＝(x－a)^2＋b^2，
PD^2＝(x－a)^2＋(y－b)^2となるから，
PA^2＋PC^2＝a^2＋(y－b)^2＋(x－a)^2＋b^2＝a^2＋b^2＋(x－a)^2＋(y－b)^2
PB^2＋PD^2＝a^2＋b^2＋(x－a)^2＋(y－b)^2
よって等式PA^2＋PC^2＝PB^2＋PD^2が成り立つことが証明された。