どうしても解けない積分の問題があるのですが

∫(x^4*e^x)/(e^x-1)^2 dx です。デバイの比熱式に出てくる式なのですが・・・ご教授お願いします

No.3 回答者： Ae610 回答日時： 2011/08/26 04:58

ANo.2です。

スミマセン。
積分値の訂正をします。
∫(0→∞){(x^4・e^x)/(e^x-1)^2} dx
=Γ(5)ζ(4)
=4π^4/15
・・・です。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2011/08/26 04:36

余計なことかも知れないが・・・、

もしも、不定積分ではなく積分範囲が(0,∞)であるとすれば
∫(0→∞){(x^4・e^x)/(e^x-1)^2} dx
= Γ(5)ζ(4)
=4!・π^4/90
=π^4/15
・・・と積分値を求める事は出来る！

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/26 00:39

この不定積分は高校数学レベルでは積分できません。

つまり、積分結果を初等関数で表現できません。

大学数学レベルなら、特殊関数（超越関数）であるポリログ関数（多重対数関数）を使えば不定積分の積分が出来て
∫(x^4*e^x)/(e^x-1)^2 dx
=12x^2*Li2(e^x)-24x*Li3(e^x)+24Li4(e^x)-x^4+4x^3*ln(1-e^x)-((x^4)/(e^x-1))+C

ここで、Lin(x)は多重対数関数(polylogarithm function), ln(x)は自然対数です。

参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28x^4*exp%28x%29%2F%28exp%28x%29-1%29^2%2Cx%29

参考URL：http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28x^4*exp%28x%29%2F%28exp%28x%29-1%29^2%2Cx%29