写像についての質問

ｆをＡからＢへの写像、ｈをＡからＣへの写像とする。

そのとき、ｈ=g・ｆとなるような写像ｇ：Ｂ->Ｃが存在するための必要十分条件は、

Ａの元a,a'に対し、ｆ（a）=ｆ（a'）ならばｈ（a）=ｈ（a'）

が成り立つことであることを示せ。


(集合位相入門/松坂和夫 p51 問14)

どのようにして証明すればいいのかわかりません。

お手数ですか、詳細な証明おねがいします。

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/08/26 18:27

あ、一意性は不要なのか。

すみません。1番は間違いでした。全射でなくてもいいです。


Bの任意の元bについて、

・bがfの像に属するならばf(a)=bとなるaを一つとって、g(b)=h(a)と定義する。

・bがfの像に属さないいならば、Cの元cを一つとってg(b)=cと定義する。

このときのgのwell-definednessが

Ａの元a,a'に対し、ｆ（a）=ｆ（a'）ならばｈ（a）=ｈ（a'）

によって保証されます。

この回答への補足

回答ありがとうございます。ここで疑問がひとつ。

gのwell-definednessが

Ａの元a,a'に対し、ｆ（a）=ｆ（a'）ならばｈ（a）=ｈ（a'）

によって保証されるということは、つまり、

Ｂの元b,b'に対してb = b'ならば　ｇ（b）=ｇ（b'）

が成り立つということですよね。だから、

gはＢのどの元bに対しても、そのgによる像ｇ（b）はＣの一つの元cから成る集合{c}

となっていることを示している（gは写像である）という解釈でいいんですか？

補足日時：2011/08/26 21:37

No.1 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/08/26 18:21

条件はそれだけですか？

ｆは全射でないと駄目ですけど。