連立不等式の表す領域

締切済

質問者：chirokmr
質問日時：2011/10/28 22:53
回答数：5件

x,yが4つの不等式 x≧0，y≧0，3x＋2y≦12，x＋2y≦8を同時に満たすとき、x＋yの最大値、最小値を求めよ。

という問題が解けません
解説よろしくお願いします´ω｀

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回答 (5件)

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No.5

回答者： info22_
回答日時：2011/10/29 10:42

#4です。

失礼しました。
A#4に図の添付を忘れましたので
添付させていただきます。

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No.4

回答者： info22_
回答日時：2011/10/29 10:38

#1,#2,#3がアドバイスされている通り、四つの不等式を満たす領域を描くことが必須です。

図を描いて添付しますので見てください。

～～～～～～～～
領域を求めるには
領域は不等式の境界（等号の時）の四本の境界線
　x=0,y=0,3x+2y=12,x+2y=8
を描いて、境界線上にないわかりやすい代表点、例えばP(1,1)
を四つの不等式に代入して
全て同時に満たすことを確認する。
　1≧0,1≧0,3＋2≦12，1＋2≦8
全て成り立つので点Pを含む境界線で囲まれた領域が求める領域（水色に塗り潰した領域）
になります。
～～～～～～～～

この水色の領域を通るように直線
　x＋y＝k　…(■)
のkの範囲を求めればいいです。kは直線(■)のx切片でもy切片でもあります。
y切片でいうとk=0～5のとき直線(■)が黄色の領域を通過します。
図から
kの下限は直線が原点Ｏ(0,0)を通る時でkの最小値=0
kの上限は直線が点A(x,y)=(2,3)を通る時でkの最大値=5
であることがわかるでしょう(図の赤線の時が最小値や最大値を取るときです)。

複数の不等式を満たす領域における数式の最大・最小問題は、みなさんも口を揃えてアドバイスされているように、「不等式を満たす領域の図を正しく描く」ことで簡単に最大・最小値問題が解けるようになりますね。
視覚的に簡単に解けます。

～～～間ようにして、不等式を満たす領域を正しく求め描けるかがポイントでしょう。
この領域の求め方を是非マスターして下さい。

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No.3

回答者： gohtraw
回答日時：2011/10/28 23:33

ｘ＞＝０、ｙ＞＝０というのは、ｘｙ平面の右上の部分ですね。

この範囲のなかで残る二つの条件を使って領域を絞っていきます。

３ｘ＋２ｙ＜＝１２　を変形して
２ｙ＜＝－３ｘ＋１２
ｙ＜＝－３ｘ／２＋６
これは、ｙ＝－３ｘ／２＋６　という直線の下側（境界線を含む）ですね。

同様にｘ＋２ｙ＜＝８　からは
ｙ＜＝－ｘ／２＋４
これはｙ＝－ｘ／２＋４　という直線の下側（境界線を含む）ですね。

これで、４つの不等式が表す領域が図示できるはずです。この領域をＰとしましょう。

一方、＃２さんの回答にある通り、ｘ＋ｙ＝ｋ　とおいて、ｋの最大、最小値を考えます。　ｘ＋ｙ＝ｋ　を変形すると
ｙ＝－ｘ＋ｋ
となります。これは、傾きがー１、ｙ切片（この直線とｙ軸の交点のｙ座標）がｋである直線です。
この直線を領域Ｐと共有点をもつ範囲で上下に動かしてみます。すると、上向きに動かした場合に領域Ｐとぎりぎり接している状態のときｋは最大になるはずです。逆に下向きに動かした場合に領域Ｐとぎりぎり接している状態のときｋは最小になるはずです。
　この辺は＃１さん、＃２さんともにご指摘の通り、文字だけを読んでもなかなか理解しにくいと思います。必ずグラフを書いて視覚的に把握、理解する必要があります。