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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
循環節の長さが2n桁であるとすると、問題の循環小数は
1/p = ((10^(-m)){ (10^(-m)) ((10^n)A+B) (1/((10^(2n))-1)) + C}
ただし、
A, Bはn桁以下の自然数である。
Cはm桁以下の自然数
という格好をしている。ここでA,Bにはさらに以下の条件が付く:
AとBの少なくとも一方は0ではなく、また「A=B=9がn個並んだやつ」ということもない。
∵もしそうなら1/pは無限小数にならないことになるから。
さて、最初の式の分母を払うと
((10^(2n))-1)((10^m)-pC) = p (10^(-m)) ((10^n)A+B)
ここで ((10^(2n))-1) = (10^n)-1)((10^n)+1) なので
((10^n)-1)((10^n)+1)((10^m)-pC) = p ((10^n)A+B)
右辺は((10^n)-1)の倍数。しかしpは素数なので((10^n)-1)の倍数ではない。従って右辺の((10^n)A+B)は((10^n)-1)の倍数である。つまり、
(((10^n)-1)A+(A+B))は((10^n)-1)の倍数
である。一方、A, Bに関する条件から
2>(A+B)/((10^n)-1)>0
従って、(A+B)/((10^n)-1)=1、つまり
(A+B) = ((10^n)-1) = 9がn個並んだやつ
である。
この回答への補足
とても丁寧に回答してくださってありがとうございました。
えっと、追加で質問したいのですが、Cと10^(-m)がなんであるのかが分かりません。頭弱くてすみません。最初の式についてもう少し詳しく教えてください;
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