微分&定積分&微分方程式を分かりやすく説明すれば、
どういう風な値を求めているのでしょうか?

定積分はある定められた範囲の面積を求めている、って事であってますか?
積分するとでてくるCはなぜ必要?

一応、問題として出されれば解けます。(おい)
なんか、意味の分からないものを求めてると思うと、
虚しく思えてきて質問しました
恥ずかしい質問ですが・・・お願いします

A 回答 (4件)

e^a = b となるような a のことを a = log(b) と書いた,


というのが対数の定義です.

○ e^log(x)

u = e^log(x) とおくと,上の定義で,u⇔b,a⇔log(x) ですから,
log(u) = log(x).
したがって u = x,というのがが一番わかりやすいでしょうか.
ただし,log の性質として,違う真数の値に対して対数が同じになることはない,
ということを使っています.
つまり,y = log(x) のグラフからわかるように,y を決めたら x はただ一通りに
決まると言うことです.

--------------

○ log(e)

v = log(e) とすると,対数の定義から e^v = e です.
e^v = e なら,v = 1 ですね.
ここでも,違う x の値に対して e^x が同じになることはない,
ということを使っています.

--------------

> 微分とはわずかに分かり、積分とは分かった積りになったもの。
> または、積分とは積り積もって分かるものだそうです。

積り積もって最終的に分かってもらえればいいんですが,
微かにわかり,分かった積もり,だとちょっと困っちゃいますね.
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この回答へのお礼

ありがとうございました
また、分からない点があれば質問します。
またお願いします

お礼日時:2001/05/06 00:19

ギャグのbrogieです。


回答2の補足(お礼?)のところの疑問のヒントです。
対数の定義から
 e^y = x とすると y = log(x)
でしたネ。このことを頭に確りおいて考えてください。

これからあなたの疑問 e^log(x) = ?
 e^log(x) = u とおくと log(x) = log(u)
ですネ。
 故に u = x  です。
つぎの疑問 log(e) = ?
log(e) = z とおくと e = e^z
ですネ。
 故に z = 1  です。
頑張って下さい!
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この回答へのお礼

ありがとうございます
あのギャグ(?)は先生も言っていたような(笑)
おかげさまで理解できました

お礼日時:2001/05/06 00:16

《微分》


変化の割合を求めている.
(速度)=(距離)÷(時間) で,速度が一定でないようなときにどうするか,
と思えばいいでしょう.
割り算の拡張,でしょうか.

《定積分》
y=f(x) のグラフとx軸の間の面積を求めている.
図形的にはそうですが,実際の問題では面積でないこともしばしばです.
ここらへんは,Ryo_Hyuga さんが書かれているとおり.

長方形の面積は(高さ)×(幅)ですが,高さがその幅の内で色々変化したらどうするか,
それを扱うのが定積分です.
こう見れば,定積分は掛け算の拡張.
Ryo_Hyuga が書かれているように,細かく分けてまた寄せ集める,というなら
足し算の拡張と思ってもよいかも知れません.

Cが出てくるのは不定積分の場合ですね.
不定積分は微分の逆演算ですが,微分すると情報が落ちます.
x^2 も x^2+1 も微分すれば 2x になって,もとの違いがわかりません.
落ちた情報を回復させる可能性を残しているのがCです.

《微分方程式》
ある式を満たす「もの」を求めるとき,その式を方程式というわけです.
おなじみの x^2 = x の様な方程式だったら,求める「もの」は数です.
実際,答は x=0,1 ですね.
これに対して,求める「もの」が関数であるとき,関数方程式といいます.
特に微分が入っている場合に「微分方程式」といいます.
dy/dx=y だったら,答は y= Ce^x ですね.
答は数ではなくて,関数になっています.
Cは積分定数ですが,Cがある理由は不定積分の時と同様です.

微分でなくて積分が入っていれば積分方程式といいます.
例えば,
∫{-∞~x} ydx = y
だったら,解は y = e^x ですね.

大学で授業を担当して思うことは,
微積の計算はできても,意味を考えない学生さんは多いようだということです.
その点,意味を考えようとする noa さんの姿勢は大変好ましいと思います.

この回答への補足

ありがとうございます。
おかげさまで、微積&微分方程式については理解できました。

数学について題名とずれますが質問させてください。
e(ネピアの数)とlog。
意味は両方とも分かります。
ただ・・・
e^log(x)  ←eのlog(x)乗です
log(e)
となるとどんな数なのか分からなくなります。
答えは


になるのだと思うのですが(たぶん)
なぜこうなるのでしょうか?

補足日時:2001/05/05 06:39
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はじめまして。



微分は砕けた言い方をすれば、物凄く細かく分割してしまうとも言えますね。
ほんの少し(Δx)移動したときの変化量(Δy)を求めるものだとも言えます。
グラフですと、決められた点とこの変化した点を直線で結べばそのグラフの接線になりますね。

積分にはご承知の通り定積分と不定積分があります。
定積分と不定積分の違いは、範囲が定まっているかどうかということです。
積分は面積や体積をもとめるのに使われることが多いですが、
物理の世界では加速度から速度を求めたりするときも積分を使います。
微分して細かくしたものを全て寄せ集めるものが積分・・・
と個人的には解釈しています。
面積のでいうと、微分で面を点と同じくらいまで分割して、
それを積分で寄せ集める(計算する)ような感じだと思います。

Cは不定積分のときにしか出てきません。
定積分ではきちんとした値が出るので不要です。
例をあげて説明すると、
X^2+3X+1 と X^2+3X+5 は微分すると同じになってしまいます。
では 2X+3 を積分すると、どちらの式になるのでしょうか?
分かりませんね。もしかしたらもっと別の式になるかもしれません。
そこで、積分定数のCをつけておくのです。
だいたいCは問題文の中に書かれているので、その値を代入することになります。

微分方程式はまだならってないので分かりません。
すいません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
これで、勉強がはかどります。
やっぱり、何をしているかが分かってるのと分からないのでは全然違いますから。

お礼日時:2001/05/05 06:37

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     ・
     ・
     ・

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(2) ∫(0→π/4) x^(2) sin2x dx

(3) ∫(0→2π) e^(x) cos x dx

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(1) -1/2
(2) π/8 - 1/4
(3) { e^(2π)-1 } / 2

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(1)I=∫(0→π/2)x*cos(2x) dx
=[x*(1/2)sin(2x)](0→π/2)-∫(0→π/2)(1/2)sin(2x)dx
=-(1/2)[-(1/2)cos(2x)](0→π/2)
=(1/4)[cos(π)-cos(0)]
=-1/2

(2)I=∫(0→π/4)(x^2)*sin(2x) dx
=[(x^2)(-1/2)cos(2x)](0→π/4)
+(1/2)∫(0→π/4)(2x)*cos(2x) dx
=∫(0→π/4)x*cos(2x) dx
=[x*(1/2)sin(2x)](0→π/4)-(1/2)∫(0→π/4)sin(2x)dx
=(π/8)-(1/2)[-(1/2)cos(2x)](0→π/4)
=(π/8)-(1/4)

(3)I=∫(0→2π)(e^(x))cos(x)dx
=[(e^(x))cos(x)](0→2π)-∫(0→2π)(e^(x))(-1)sin(x)dx
=e^(2π)-1+∫(0→2π)(e^(x))sin(x)dx
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-∫(0→2π)(e^(x))cos(x)dx
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2で割って
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(1)I=∫(0→π/2)x*cos(2x) dx
=[x*(1/2)sin(2x)](0→π/2)-∫(0→π/2)(1/2)sin(2x)dx
=-(1/2)[-(1/2)cos(2x)](0→π/2)
=(1/4)[cos(π)-cos(0)]
=-1/2

(2)I=∫(0→π/4)(x^2)*sin(2x) dx
=[(x^2)(-1/2)cos(2x)](0→π/4)
+(1/2)∫(0→π/4)(2x)*cos(2x) dx
=∫(0→π/4)x*cos(2x) dx
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Q不定積分と定積分を使って面積を求める

画像の問題がどう解けばいいのか分からないので教えて下さい。

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6
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7
y1=x^2-x-6, y2=-x^2+x-2のグラフを描き交点を求める。
x^2-x-6=-x^2+x-2 ⇒ 2x^2-2x-4=0 ⇒ x^2-x-2=0 ⇒ (x-2)(x+1)=0
交点のx座標は x=-1,2
-1≦x≦2でy2=-x^2+x-2がy1=x^2-x-6の上にくることを確認。求める面積Sは
S=∫(-1,2)[y2-y1]dx=∫(-1,2)[-2x^2+2x+4]dx=[-2x^3/3+x^2+4x](-1,2)
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Q常微分方程式の初期値問題 u'= -(2+sin(sin(u))u,

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あまり自信はありませんが・・・

u(x)の逆関数x(u)を考える。
条件より、
dx/du=-1/(2+sin(sin(u)))u, x(1)=0

2-1<=2+sin(sin(u))<=2+1 なので、

u>0において、 -1/u<=dx/du<=-1/3u

したがって、0<u<=1なるuに対し、u~1までの積分値について
∫_u^1 {-1/u}du<=∫_u^1 {dx/du}du<=∫_u^1 {-1/3u}du
∴ ln(u)<=-x(u)<=ln(u)/3<=0
∴ -3x(u)<=ln(u)<=-x(u)<=0
∴ e^(-3x)<=u(x)<=e^(-x)<=1
∴ 0<u(x)<=e^(-x) (ただしx>=0)
  

Q定積分が定める関数

『f(x)=∫(x^2-t^2)sintdtとおくときxf"(x)-f'(x)を求めよ』(∫は0~xの範囲)
という問題なんですが、

f(x)=∫(x^2-t^2)sintdtをf(x)=∫(x^2sintdt-t^2sintdt)
x^2は定数となるので
f(x)=x^2∫sintdt-∫t^2sintdt

この後二次導関数を求め、積の微分を使ったりして計算してみたのですが、計算結果が思ったよりかなり複雑になったので、答えに自信がもてません・・。こちらの解法の確認、および皆さんの計算結果教えてもらえないでしょうか・・・?

Aベストアンサー

>f(x)=x^2∫sintdt-∫t^2sintdt

 から、f'(x)=2x∫sintdt+x^2sinx-x^2sinx=2x∫sintdt

    f"(x)=2∫sintdt+2xsinx

 よって、xf"(x)-f'(x)=2x∫sintdt+2x^2sinx-2x∫sintdt= 2x^2sinx では?

 F(x)=∫f(t)dt のとき、F'(x)=f(x) です。

Q微分方程式 線形 非線形

前回の質問の続きです。
前回の質問内容:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7818206.html

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
(1)y”+y’-2x=0
(2)y’+xy=1
(3)(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
(1)(y”)^2+y’-2x=0
(2)x(y”’)^3+y’=3
(3)y・y’+xy=1

上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか?

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか?
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか?

線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

←A No.3 補足

> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか?


また、
> yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、
のようなことが気になってしまうなら、

yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の
どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か?
と考えてみるとよいと思います。

微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を
代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。
それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。

←A No.3 補足

> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w ...続きを読む

Q定積分と微分の関係?

F(x)=∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)⇔F'(x)=f(x)かつF(a)=0 を証明する。
      
(→)d/dx・∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)=f(x) かつF(a)=∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端a)=0  であるから容易に証明される。
(←)F'(x)=f(x)であるからF(x)は不定積分の1つであり
  ∫f(x)dx=F(x)+C(Cは積分定数)
またF(a)=0であるから
 ∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)=[F(t)] (定積分の区間は下端a、上端x)=F(x)-F(a)=F(x) よって証明された。  とかいてあったのですがどういう意味なのかわからないんです!!  教えてください!!

Aベストアンサー

#1、#2です。

>[F(x)]のところは[F(t)]で・・すよね??
そうです。[F(t)]です。すいません。

(→)については分かったのでしょうか?
#2の7行目からの証明は教科書に載っていませんか?


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