2次偏導関数について

2次の偏導関数では、Zxx,Zxy,Zyx,Zyyが求められますが、

問題をといていて、Zxy = Zyx　になることに気がつきました。

これはどの2次偏導関数についてもいえることなのでしょうか？

証明等あればしていただけると非常にありがたいです。

上記内容が正しければ、
もしかすると、2次以上の高次偏導関数においても、このような規則的なものがでてくるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/12/03 16:57

２次の導関数が全て「連続」な領域内なら成り立ちます。

詳細は Schwarzの定理 で調べてみてください。

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2011/12/03 19:07

http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/calculus/c …
http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2011/6 …

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/12/03 18:42

Zxy = Zyx にならない例：

Z = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
(x,y)=(0,0) に於いて。