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この問題の解き方、過程を教えて下さい。

下図の段付き軸が軸心に対し垂直な軸y'の
回りを回転するとき、 (1)慣性モーメントが最小になるy'の位置
と、 (2)Iy'を求めよ。鋼の密度を7860kg/m^3 とする。
答え・・・y'軸はy軸より200mm, Iy'=661 kg cm^2

<自分の解いたやりかた>
(1)はやり方がわからなかったので(2)については
(1)の答え「y'軸はy軸より200mm」を利用
2つに分けて考え、左側を1、右側を2とする。
こたえがkg cm^2なのでcmで計算する。
R1 = 2.5cm、R2 = 5.0cm
L1 = 20cm、L2 = 10cm

1について
Iy1'=(m1(3*R1^2 + 4*L1^2))/2= 2499 kg cm^2
2について
Iy2'=(m2(3*R2^2 + 4*L2^2))/2 = 1466 kg cm^2
したがってIy' = Iy1' + Iy2'

「物理学-慣性モーメント」の質問画像

A 回答 (3件)

断面は円だと思うので、円板の面内の慣性モーメントがMa^2/4であることを利用すればすぐに出ますよ。



軸に沿ってにx軸を取りy軸に平行にdxの巾でスライスするとその円板の質量は密度をρとしてρπa^2dxなので、この円板の重心まわりの慣性モーメントが

(ρπa^2dx) a^2 / 4

y軸のところをx=0とし、円板の位置をx、y'軸の位置をx'とするとこの円板と回転軸は距離|x-x'|だけ離れていることになるので、平行軸の定理を使ってy'軸まわりの慣性モーメントは

(ρπa^2dx) a^2 / 4 + (ρπa^2dx) (x-x')^2

これをx=0からx=300まで積分しますが、軸の直径がx=200mmで変化しているのでa1=25mm, a2=50mmとして

I = ∫[0->200mm] [ (ρπa1^2 / 4)dx + (ρπa1^2) (x-x')^2 dx ]
+ ∫[200mm->300mm] [ (ρπ a2^2 / 4)dx + (ρπa2^2) (x-x')^2 dx ]

単位を適宜揃えてこの積分を実行してx'に付いて微分すれば極値を取るx'が決まります。
極値のx'が決まれば、この積分の結果に代入すれば慣性モーメントが求められます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
解き方が分かりました。

お礼日時:2011/12/15 21:18

積分の式が間違っていました。

以下に訂正してください

I = ∫[0->200mm] [ (ρπa1^4 / 4) dx + (ρπa1^2) (x-x')^2 dx ]
+ ∫[200mm->300mm] [ (ρπ a2^4 / 4)dx + (ρπa2^2) (x-x')^2 dx ]
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質量の分布が均一という前提だと思うので軸の垂直方向の分布を考慮した積分を行う必要があると思うのですが。

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