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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
表現の種類sは固定されているので、以下見やすいために省きます。
RT_nR^(-1) = T_mD_mn(R) ----(*)
という式のRに微小回転のRを代入し、微小パラメータの1次を比較するだけです。
R = I -iθ_aJ_a として、上式(*)の左辺を計算すると、
(I -iθ_aJ_a)T_n(I -iθ_aJ_a)^(-1)
= (I -iθ_aJ_a)R(I +iθ_aJ_a)
= T_n -iθ_a(J_aT_n - T_nJ_a)+O(θ_a^2)
= T_n -iθ_a[J_a, T_n] + O(θ_a^2)
上の式で次の事実を使いました。
すなわち、Rはユニタリー演算子であることより、
RR^+ =I
より、θ_aを実のパラメータとして、J_aはエルミート演算子であることが分かります。
よって
(I -iθ_aJ_a)^(-1)
=
(I -iθ_aJ_a)^+
=
(I +iθ_aJ_a)
さて、(*)の右辺を計算すると、
T_mR(I-iθ_aJ_a)
=
T_m(E_mn -iθ_a(J_a)_mn)
=
T_n -iθ_aT_m(J_a)_mn
ここでEは2s+1次の単位行列です。
よって微小パラメータθ_aの1次を比べて、
[J_a, T_n] = T_m(J_a)_mn
を得ます。
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