中学３年生の２次関数の解法について

中学３年生の２次関数の問題で文章の定義が良くわからず、教えるのに苦労しています。
たとえば
ｙ=ax^2でxがbからcのとき、「変化の割合」が同じだとすると...というとき、変化の割合とは何のことでしょうか？
y(c)/x(c)とy(b)/x(b)のことでしょうか？
回答を見ると
y(c)－y(b)のように、変化の「差」を考えているようです。
どなたか「変化の割合」の意味をご存知の方、よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/12/09 13:09

gongqiさん、こんにちは。

＞ｙ=ax^2でxがbからcのとき、「変化の割合」が同じだとすると...というとき、変化の割合とは何のことでしょうか？
y(c)/x(c)とy(b)/x(b)のことでしょうか？
回答を見ると
y(c)－y(b)のように、変化の「差」を考えているようです。

変化の割合って、まさに、「差」の比率なんですよね。

（ｙがどれだけ増えたか）÷（ｘがどれだけ増えたか）

という式で表せます。
１次関数で考えると、

y=ax+b
の変化の割合は、aでしたが、それは
y=ax+b=f(x)とおくと、c→dに増えるときの変化の割合は

{f(d)-f(c)}/(d-c)
　　↑
ｙがどれだけ増えたか、をxが増えた分d-cで割っている。

実際計算すると
f(d)=ad+b
f(c)=ac+bなので
f(d)-f(c)=ad-ac=a(d-c)
ゆえに
{f(d)-f(c)}/(d-c)=a
となります。

２次関数のときも、同じです。

y=ax^2=f(x)とおく。
xがb→cに増えるときの変化の割合は、

x:b→c
y:f(b)→f(c)
つまりab^2→ac^2

なので（ｙの増えた分）÷（ｘの増えた分）
＝(ac^2-ab^2)/(c-b)=a(c+b)(c-b)/(c-b)=a(c+b)
となりますね。

実例で考えてみましょう。

y=2x^2とします。
x:0→3と変化したとき
y:0→18
ですね。
この変化の割合は、

(18-0)/(3-0)=6
です。これは
a(c+b)=2(3+0)=6
で合っていますね。ご参考になればうれしいです。

No.4 回答者： Kemi33 回答日時： 2003/12/09 18:05

回答が出てはいますが，『文章の定義が良くわからず、教えるのに苦労しています』との事ですので，その点について補足いたします。

> y(c)－y(b)のように、変化の「差」を考えているようです。

　y(c)－y(b) は『 変化の「差」』ではなくて，y の値の変化分（増加分）ですね。

　同様に c－b が x の値の変化分（増加分）ですね。

　つまり，『変化の割合』とは，x の変化分（増加分）に対する y の変化分（増加分）の割合の事で　[y(c)－y(b)]/(c－b)　ですね。

No.3 回答者： ikkame 回答日時： 2003/12/09 15:09

変化の割合は、Xが１増えたとき、Yはどのくらい増えるかです。

たとえば、ある関数でＸが１増えたとき、Ｙが３増えたなら、変化の割合は、３です。
Ｘが２増えたとき、Ｙが６増えたなら、Ｘが１増加するにつれ、Ｙはどのくらい増加していますか。３です。これは、６（Ｙの増加量）÷２(Ｘの増加量)で出せます。
つまり、Ｙの増加量÷Ｘの増加量で変化のわりあい（Ｘが１増えるときＹはどのくらい増える）がわかります。
　具体的にやるともっとわかりやすいです。亀の数をＸ、その足の数をＹとすると、Ｙ＝４Ｘとなります。亀Ｘが１匹増加したら、Ｙは４本増加します。変化の割合は、４ですね。Ｘが２匹から５匹に増加します。そのときＹは８本から、２０本に増加します。変化の割合は、Ｘ一匹増加するときのＹの増加量だから、Ｙの増加量１２をＸの増加量３で割ればいいです。
　ちなみに、一次関数は、変化の割合は、傾きと同じになります。
　二次関数は、いちいち計算しないとだめです。
ｘがどんだけ増加したか、Ｙはその時どんだけ増加したか、それぞれ計算して、出してください。ちなみに、二次関数もグラフで言うと、２点間の傾きになります。

以上をまとめますと変化の割合というのは
・Ｘ１増加するとき、Ｙはどんだけ増加するか
・グラフでは、傾きと同じになる
の２点を押さえます。

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2003/12/09 12:59

通常、「変化の割合」という場合は傾き、つまり

{y(c)-y(b)}/(c-b)
を指します。

問題文全てを教えていただけると、解答が『y(c)－y(b)のように、変化の「差」を考えているようです』についての解釈をアドバイスもできるかも知れません。