No.2ベストアンサー
- 回答日時:
原理の説明は後回しにしますが、
その部分の面積ならば、∫[1,2]xdy
その部分をy軸の回りに1回転させて
できる回転体の体積なら、∫[1,2]πx^2 dy
のように、普通の面積・体積の求め方と、
x,yを逆にした積分で求めることができます。
なので、y=logx ⇔ x = e^y から、
V = ∫[1,2]πx^2 dy = π∫[1,2](e^y)^2 dy
のようにして、求めることができます。
原理の方ですが、区分求積法は、知ってますよね?
本当にこういう具合に書いたら、減点されてしまいますが、
y=f(x) (a≦x≦bで、y=f(x)≧0)という関数があって、
これとx軸、x=a、y=bで囲まれた面積Sを求めようと思えば、
これを、幅Δxの縦長の短冊に切り分けて、切り分けたそれぞれの
1枚を長方形とみると、縦は、y、横はΔx なので、面積はyΔx
これを合計するので、ΣyΔx、この合計は、面積Sに割と近い、
もっと近くしようと思うなら、切り分ける幅・Δxを小さくすればよい、
その極限・lim[Δx→0]ΣyΔx = Sになる。
この面積Sを広~い目で見ることにして、y=f(x)<0の場合は、
面積がマイナスと考えることにして、その広~い意味の面積を
求めると考えると、結局、∫[a,b]ydx = lim[Δx→0]ΣyΔxになる。
微分のときも、平均変化率・Δy/Δx の極限、
lim[Δx→0]Δy/Δx = dy/dx とやったのに、
えらく近い雰囲気の式になっている、
それもそのはずで、ΔΣは、ギリシャ文字で、英語のアルファベット
で言えば、D,Sに相当し、difference(差), sum(和)を表している、
で、極限の方は、そのアルファベットの頭文字d と、
ただのSでは、面積のSなどと紛らわしいので、縦に長く引き伸ばした∫
を使って表しているだけ、ということで、∫ydx に、単なるオマケ
以上の存在として、dxが必要な意味は分かったと思いますが、
質問の関数で面積を求めるなら、縦でなく、横に切った方がいい、
勿論幅はΔyで、長方形の横は、xになるので、ΣxΔy→∫xdy
とやればいいことが解る、
この場合の回転体の体積なら、横に切り分けたとき、
断面は、半径xの円になるので、面積はπx^2、これに切り分けた幅
=円柱の高さ・Δyをかけて、合計すると、Σπx^2Δx → ∫πx^2 dy
ということに、
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