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8人を4組に分けることを考える
なお、どの組にも少なくとも1人は属するものとする

(1)4組に分ける場合の数
(2)ある2人が同じ組に入る場合の数
(3)ある3人が同じ組に入る場合の数



教えてください

A 回答 (2件)

(1)4組に分ける場合の数


4組に分ける人数の組み合わせは、
5,1,1,1
4,2,1,1
3,3,1,1
3,2,2,1
2,2,2,2
の5通り。
それぞれを8人で振り分ける分け方の数は、
5,1,1,1 は 8C5=56
4,2,1,1 は 8C4×4C2=420
3,3,1,1 は 8C3×5C3/2=280
3,2,2,1 は 8C3×5C2×3C2/2=840
2,2,2,2 は 8C2×6C2×4C2/24=105
計 1701通り

(2)ある2人が同じ組に入る場合の数
2人で1人とみなして、7人を分けるとすると、
4,1,1,1 は 7C4=35
3,2,1,1 は 7C3×4C2=210
2,2,2,1 は 7C2×5C2×3C2/6=105
計 350通り

(3)ある3人が同じ組に入る場合の数
3人で1人とみなして、6人を分けるとすると、
3,1,1,1 は 6C3=20
2,2,1,1 は 6C2×4C2/2=45
計 65通り



別解

(1)4組に分ける場合の数
組を区別して、0人の組があってもいい場合の分け方の数は、4^8通り
そのうち、3組が0人になる場合の数は、4通り
2組だけが0人になる場合の数は、6×(2^8-2)通り
1組だけが0人になる場合の数は、4×(3^8-3×(2^8-2)-3)通り
よって、どの組も1人以上いる場合の数は、
4^8-4×(3^8-3×(2^8-2)-3)-6×(2^8-2)-4
組を区別しないわけ方は、これを4!=24で割ればいいので、
4組に分ける場合の数は、
(4^8-4×(3^8-3×(2^8-2)-3)-6×(2^8-2)-4)/24=1701

(2)ある2人が同じ組に入る場合の数
(4^7-4×(3^7-3×(2^7-2)-3)-6×(2^7-2)-4)/24=350

(3)ある3人が同じ組に入る場合の数
(4^6-4×(3^6-3×(2^6-2)-3)-6×(2^6-2)-4)/24=65
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この回答へのお礼

ありがとうございました

上のやり方を参考にさせていただきます

お礼日時:2012/02/20 15:20

1問回答します。


(1)4組に分ける場合の数
各組に1人ずつ入れて、残り4人を4組に分ける分け方は
4,0,0,0、3,1,0,0、2,2,0,0、2,1,1,0、1,1,1,1 の5通り。
従って8人を4組に分ける分け方は
5,1,1,1、4,2,1,1、3,3,1,1、3,2,2,1、2,2,2,2 の5通り。

4組を区別する場合は、
5,1,1,1については5人をどの組にするかで4通り。
4,2,1,1については4人と2人をどの組にするかで、2*4C2=2*6=12で12通り。
3,3,1,1については3人と3人をどの組にするかで、4C2=6で6通り。
3,2,2,1については3人と1人をどの組にするかで、2*4C2=2*6=12で12通り。
2,2,2,2は1通り。
よって8人を4組に分ける分け方は4+12+6+12+1=35通り。

さらに、8人を区別する場合は、
5,1,1,1については(8C5)*3!=336 → 336*4=1344通り
4,2,1,1については(8C4)(4C2)*2=840 → 840*12=10080通り
3,3,1,1については(8C6)(6C3)*2=1120 → 1120*6=6720通り
3,2,2,1については(8C3)(5C2)(3C2)=1680 → 1680*12=20160通り
2,2,2,2については(8C2)(6C2)(4C2)=2520通り
よって例えばa、b、c、d、e、f、g、hの8人をA、B、C、Dの4組に
分ける場合の場合の数は、1334+10080+6720+20160+2520=40814から
40814通りになりました。
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