No.2ベストアンサー
- 回答日時:
たぶん無理っぽい…としか言えない。
悩ましいのは、五次以上の方程式には
解の公式が存在しないというだけで、
個々の高次方程式は代数的に解ける場合もある
ことだ。例えば、xの17乗=1 は解ける。
与えられた方程式が解けるか否かを
判定することは、一般には大変難しい。
今回の式はどうかと言えば、どうにも無理っぽい。
でも、無理であることの証明はパスしたいな。
←♯1
逆三角関数は、初等関数のうちだよ。
No.3
- 回答日時:
sin(2x-1)+sin(3x+4)=0 ⇔ 2sin(3x-2)cos(x-1)=0
が良く分かりません。3x-2=nπが答えだとするとn=0としてx=2/3が1つの答えになりますが、元の式に代入すると左辺はsin(1/3)、右辺はsin(6)になって一致しません。
sin(2x-1)=-sin(3x+4)
sin(2x-1)=sin(-3x-4)
2x-1=-3x-4+2nπ
5x=-3+2nπ
x=(-3+2nπ)/5
で良いのでは?
すみません。
和積公式
sinA + sinB = 2sin{(A+B)/2} cos{(A-B)/2}
を使ったのですが、自作問題をいじくっているときにへんになったようです。
sin(2x-1)+sin(3x+4)=0
⇔
2sin(2.5x+1.5)cos(0.5x+2.5)=0
⇔
2.5x+1.5=nπ または 0.5x+2.5=π/2 + nπ
No.1
- 回答日時:
地道な手順としては、以下のようになります。
加法定理で、sin(nx+a)=sin(nx)cos(a)+sin(a)cos(nx)
と分解し、sin(nx)やcos(nx)にも加法定理を繰り返し適用すれば(いわゆるn倍角公式)、sin(x)とcos(x)のn乗までを含んだ、代数的な関係式にはなります。
sinとcosの関係は、
(sin(x))^2+(cos(x))^2=1
でつければ良いのですが、cosをsinで表そうとすると、cosの奇数乗の項からはsinの√が出てきます。√は2乗して潰せばOKですが、例えば、
sin(2x-1)+sin(3x+4)+sin(5x+6)=0
からは、cosの5乗,3乗,1乗が出てきますので、3回の2乗を考えると、5×2×2×2=40となり、sinの40次の代数方程式になりそうです。一般に5次方程式以上には、解の公式が存在しない(数学的に)ので、この方法が可能なのは、n=2くらいまでと思います。
さらに運よく、sin(x)=bの値が代数的に計算可能だったとしても、x=sinの逆関数(b)の値をどうやって計算するか?、という問題があります。sinの逆関数も初等関数ではあるのですが、初等超越関数と呼ばれる部類のもので、有限回の四則演算では、その値を計算できない事がわかっています。
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