No.2ベストアンサー
- 回答日時:
求め方は、まず与式の変形
>sinθcosθ=1/2*sin2θと変形して
この変形は良い方針です。
y=sinθ-(1/2)sin2θ ‥‥(1)
次に導関数を求める。
y'=cosθ-cos2θ
=-(2cosθ+1)(cos-1)
次に極値をとるθの値を調べる。
y'=0 から cosθ=-1/2,1
θ=(2/3)π、0
次に増減表を作る。
(1)は周期2πの周期関数だから、0≦θ≦2πの範囲
で増減表を作成する。
最大となるθと最大値を求める。
No.7
- 回答日時:
結構いろんな方法があるようだ。
。。。。wsinθ=x、cosθ=yとすると、x^2+y^2=1 の時に sinθ-sinθcosθ=x(1-y)=k の最大値を求める。
そこで、1-y=aとすると、x^2+(a-1)^2=1 ‥‥(1)の時に sinθ-sinθcosθ=xa=k ‥‥(2)の最大値を求める。
(1)から、x^2=2a-a^2≧0より、0≦a≦2 ‥‥(3)
k=xa=±a√(2a-a^2) 0≦aより k=xa=±√(2a^3-a^4)であるが、(2a^3-a^4)≧-√(2a^3-a^4)であるから、 k=√(2a^3-a^4)を考えると良い。
f(a)=2a^3-a^4 として微分して(3)の範囲で増減表を書くと、a=3/2で最大値をとる。
f(3/2)=27/16から、kの最大値は 3√3/4 そのとき、1-y=a=3/2、x=k/a=√3/2.
(1)と(2)から円:(1)と双曲線:(2)が接する場合を考える事も出来るが、計算が面倒そうだ。。。。。w
No.6
- 回答日時:
別解。
0≦θ<2πで考えても一般性を失わない。
θ=πの時、sinθ=0、cosθ=-1から、k=sinθ-sinθcosθ=0 よってこれも解の一部。
θ≠πの時、tan(θ/2)=tとすると、tは全ての実数値であり、sinθ=(2t)/(1+t^2)、cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)から、代入すると、
k=sinθ-sinθcosθ=(4t^3)/(1+t^2)^2=f(t)として微分の上で、最大値を求める。
続きは、自分でやって。
No.5
- 回答日時:
θに条件があれば、同値性に注意して、2乗したものの最大値を求めると言う方法も考えれる。
どうせ微分を使うなら。
sinθ=x、cosθ=yとすると、x^2+y^2=1 ‥‥(1)、sinθ-sinθcosθ=x(1-y)=k ‥‥(2)とする。
1-y=0の時、k=0で その時(1)からx=0、従って これも求める解の一部 ‥‥(3)
1-y≠0の時、(2)のxを消して(1)に代入して整理すると、k^2=(y-1)^2*(1-y^2)=f(y)。
次に、f(y)を微分して -1≦y<1 の範囲で増減表を書くと、y=-1/2で極大かつ最大。
従って、f(-1/2)=27/16 から |k|≦3√3/4 ‥‥(4)
以上、(3)と(4)から 最大値は 3√3/4 でそのとき、y=cosθ=-1/2で x=sinθ=±√3/2。
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