三角関数 sin大小比較問題

以下の問題の解説を教えてください。恐縮ながら細かく説明してくださると幸いです。

sin１、sin2、sin3、sin4の大小を比較せよ。

ご回答宜しくお願い致します。

No.6 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/15 12:52

y=sin(x)のグラフを描くと添付図のようになります。

1≦x≦4…(※) で考えるとき,グラフが示すように
x=π/2(=1.57…)[rad]でsin(x)は最大、x=3π/2(=4.71…)[rad]でsin(x)は最小となります。
(※)の範囲のx=1,2,3,4とxに値を与えた時、sin(x)の大小はx=π/2(=1.57…)に近いx程sin(x)の値は大きく、離れる程小さくなります。グラフより
(1)sin(2)＞(2)sin(1)＞(3)sin(3)＞0＞(4)sin(4)
と読み取れます。
数値的にはπ/2からの距離で判別すれば
|(π/2)-1|=0.57… sin(1)が２番目（大きさの順位(2)）
|2-(π/2)|=0.42… sin(2)が最大（大きさの順位(1)）
|3-(π/2)|=1.42… sin(3)が３番目（大きさの順位(3)）
|4-(π/2)|=2.42… sin(4)(＜0)が４番目で最小(大きさの順位(4))
となります。つまり
sin(2)＞sin(1)＞sin(3)＞sin(4)
です。

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2013/08/15 11:24

sinxのグラフを考えると大小の見当がつきます。

sin2,sin3はsin1とcos1で表すことができますので、あとは計算で確認するだけです。

sin2-sin1=2sin1cos1-sin1=2sin1(cos1-1/2)

ここでπ/4<1<π/3だから　√2/2<sin1<√3/2, 1/2<cos1<√3/2　…(1)

したがってsin2-sin1>0, sin2>sin1 …(2)

sin1-sin3=sin1-(3sin1-4(sin1)^3)=4(sin1)^3-2sin1=4sin1((sin1)^2-1/2)

ここで(1)より1/2<(sin1)^2<3/4 だから sin1-sin3>0, sin1>sin3 …(3)

また　3<π<4<2πより　sin3>0, sin4<0 …(4)

(2)(3)(4)から　sin4<sin3<sin1<sin2

No.4 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/15 10:14

aを実数としてπ=3.141592..(円周率）とすると

sin(a)=sin[(a/π)π}=sin(cπ)

c=a/π

a=1,2,3,4のとき

c=0.32,0.64,0.96,1.28

y=sinxのグラフを描いて以下の点を確認してください。

x=π/2(c=x/π=0.5)で最大値y=1

x=π(c=x/π=1)でy=0

x=3π/2(c=x/π=1.5)で最小値y=-1

x=2π(c=x/π=2)でy=0

このグラフの上にc=0.32,0.64,0.96,1.28の点をプロットして

比較しながら考えればわかるように

a=4(c=1.28)のときsina=sin4は－、それ以外は+

あとはc=0.5に近いものほど大きくなります。

以上より

sin2>sin1>sin3>sin4

No.3 回答者： nananotanu 回答日時： 2013/08/15 09:51

sin(π/2)、sin(π)、sin(3π/2)との比較をキーワードに考えれば解る気がします。

例えば、sin4の４だけが　π＜４＜3π/2ですから、明らかにこれだけが負の値をとり、一番小さいですよね。

さらに言うなら、１と２で、頂点となるπ/2により近い方はドッチ？

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/08/15 09:50

sin は 1.57(π/2) で最大になり

3.14(π) で0になり4.71(1.5π)で
最小になります。