相似変換とユニタリ変換

今までユニタリ演算子に依る相似変換をユニタリ変換と思っていたのですが、違いますか？

私の理解ではAの相似変換は
P^(-1)AP
でPがユニタリのときAのユニタリ変換は
(P^†)AP
だと思っていました。

ところがある本で、Pをユニタリ演算子として相似変換を
(P^†)AP、
ユニタリ変換を
PAP^(-1)
としていました。(P^†)APは私の理解でもユニタリ演算子による相似変換なので分からなくはないのですがユニタリ変換はどうしても理解できません。
もし私が間違っているなら正しい定義を教えて下さい。よろしくおねがいします。

No.6 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/14 19:41

No5 の　つづき

ハイゼンベルグ表示　シュレディンガー表示　相互表示　の話のようですね。
http://hooktail.sub.jp/quantum/SHRep/

式(2) (4) の関係ですね

この場合　P=e^{-tiH/h} ですね H は　ハミルトニアンで、エルミート作要素だから　i 倍したら　交代エルミート　リー環だから　指数関数に乗っければ　ユニタリーですね　

だから　P^{-1} という　ユニタリ作要素　の　相似変換(P^{-1})^{-1}AP^{-1}　が　ハイゼンベルグ表示（４）にあたるわけですね、これをユニタリ変換といっている感じですね。

その意味では　　相似変換は　B^{-1}AB で　　B=P^{-1} (P ：　Unitary)　が　ユニタリ変換　ですね


ただし、これは、あくまでこの本の流儀で、　数学で　相似変換　ユニタリ変換を　関数解析では　あまり使わないと思います。

この回答への補足

>ハイゼンベルグ表示　シュレディンガー表示　相互表示　の話のようですね。
いえ、もっと基礎的な内容です。まだ先を読んでないのでわからないのですが、この相似変換とユニタリ変換がどう関連してくるのかわかりませんが今のところは一応は別の話題として出てきています。
いま私が疑問に思っていることはもっとシンプルで
#1の補足「ユニタリ変換は相似変換の一種で相似変換をP^(-1)APと書くときPがユニタリの場合を言う」
#4の補足「「AのPによる相似変換」をP^(-1)APと書くかPAP^(-1)と書くかは流儀による」
が正しいかどうかです。この２点をお答えいただけないでしょうか。

補足日時：2012/03/14 21:26

No.5 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/14 07:45

＞この本では相似変換とユニタリ変換で別の流儀を使っているということでしょうか？

具体的、何を読んでいて、　その本では　ユニタリ変換　相似変換　をどう定義しているのですか？

この回答への補足

読んでいる本はJ.J.Sakuraiの「現代の量子力学」（上)です。定義はしていなくて出てきた式に対して「これは相似変換である」という書き方をされています。ユニタリ変換は「ユニタリ変換PAP^(-1)を作ることができる」とあります。原書は英語で邦訳を読んでいるので細かいニュアンスはわかりませんが、ユニタリ変換は議論の便宜上敢えてPAP^(-1)というユニタリ変換を作っているのかもしれません。

それと
#1の補足「ユニタリ変換は相似変換の一種で相似変換をP^(-1)APと書くときPがユニタリの場合を言う」
#4の補足「「AのPによる相似変換」をP^(-1)APと書くかPAP^(-1)と書くかは流儀による」
というのは正しいかどうかお答えいただけないでしょうか。

補足日時：2012/03/14 17:12

No.4 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/14 00:13

＃１のコメント　への　　答え

ρ(P)(A)=PAP^†

と書いたら

ρ(PQ)=ρ(P)ρ(Q)

とかけますが

ρ(P)(A)=P^†AP だと

ρ(PQ)=ρ(Q)ρ(P)

になります。

つまり　右作用で書くか　左作用で書くか　の違いです。


結構　左作用が普通になってる分野が多いですから。

　

この回答への補足

「AのPによる相似変換」をP^(-1)APと書くかPAP^(-1)と書くかは流儀によるということでしょうか？
そうすると同じ本の中ではどちらかに統一すべきですよね。
この本では相似変換とユニタリ変換で別の流儀を使っているということでしょうか？

補足日時：2012/03/14 02:06

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/13 23:52

P がユニタリなら、P の逆行列もユニタリなので、

(Pの逆)AP も PA(Pの逆) も、ユニタリ行列による
相似変換に違いはないのですが…

ベクトルを P で変換すると言ったら、
一次変換 x → Px のことですよね。
このとき、標準基底は P の列ベクトルに移ります。
これを座標変換と解釈すると、
行列 A の成分表示は PA(Pの逆) に移ります。
(Pの逆)AP ではなく。

この回答への補足

たしかにP^(-1)APもPAP^(-1)も相似変換ですが、前者はPによる相似変換、後者はP^(-1)による相似変換と便宜上区別できますよね？
同じ本で相似変換をA'=(P^†)AP、ユニタリ変換をA'=PAP^(-1)と書いていたので不自然に思いました。
相似変換は前者、ユニタリ変換は後者の言い方を採用しているからです。

それと「ユニタリ変換は相似変換の一種」というのは正しいですか？

補足日時：2012/03/14 01:59

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/13 23:42

どこでひっかかっているのかわからんので想像するしかないのだが....

P がユニタリなら P^(-1) もユニタリだってだけ?

この回答への補足

Aの相似変換　：　A'=(P^†)AP
Aのユニタリ変換　：　A'=PAP^(-1)
と書いてあったのですがユニタリ変換はA'=P^(-1)APなどと書くべきでは？ということです。

補足日時：2012/03/14 02:12

No.1 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/13 21:59

すいません　どこの空間で話をされてるのか？　わからないので、とりあえず有限次元の線形空間上での話しと思います。

だからみんな演算子と書かれてるのは、線形写像（つまり行列）とおもいます。
無限次元つまりヒルベルト空間でも同じだと思いますが（ユニタリって書いてるから、それ以上の一般化された空間ではないと思いますが）


有限次元だと、相似変換は　基底の取替えにあたります。

ユニタリーってことは、複素線形空間で複素内積が入ってってるということですね。

P^†　って　行列Pの転置と複素共役をとる操作と思うのですが違いますか？（つまりP^*　と同じ）

行列P　が　ユニタリーの定義は　P^†＝P^{-1}　なのですが。

つまり　同じです。相似変換側で言うと正規直交基底を正規直交基底に移す相似変換がユニタリーです。座標を変えたと見るか。点を動かしたと見るか？　　シュレデンがー表示hハイゼンベルグ表示かみたいなことだと思うのですが。


有限次元で話しましたか、無限次元のヒルベルト空間ならば、適宜置き換えて判断してください。

この回答への補足

回答有難うございます。
空間は有限または無限次元の複素線形空間です。

同じというのはユニタリ変換は相似変換の一種という意味ではないのですか？
「Aを相似変換したものがB」というのはB=P^(-1)APを意味しますよね？
(本ではPがユニタリなのでP^†を使っていましたが)

では「Aをユニタリ変換したものがB」というのはPをユニタリ行列としてB=(P^†)AP（あるいはB=P^(-1)AP）ではないのですか？
本ではPAP^(-1)と書かれているので疑問に思いました。

補足日時：2012/03/13 22:25