数学A 場合の数・順列の質問です。

問題を解いていて行き詰った部分なのでどなたかご回答お願いします。


壱　a,b,c,d,e,fの6人の走順を定めるとき、aがbより先に、bはｃより先に走る場合は何通りか。

弐　3桁の整数ｎの百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれx,y,z,とするとき、次の条件を満たす
　　　整数は何個あるか。
　　　(1)x>y≧z　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)x≧y≧z

参　a,a,a,b,b,c,d,の7文字から4文字選んで1列に並べるとき、次の並べ方は何通りあるか。
　　　(1)3種類の文字を使って並べる　　　　　　　　　　　　(2)並べ方の総数

肆　6個の玉を3つの箱に分けて入れる。どの箱にも少なくとも1個は入れるとき、次の場合について
　　　玉の入れ方はそれぞれ何通りあるか。
　　　(1)玉も箱も区別して考えた場合
　　　(2)玉は区別するが、箱は区別しないで考えた場合
　　　(3)玉は区別しないが、箱は区別して考えた場合

問題数が多く面倒かも しれませんが、よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/26 22:30

壱　a,b,c,d,e,fの6人の走順を定めるとき、aがbより先に、bはｃより先に走る場合は何通りか。

＞a,b,c,d,e,fの6人の走順は全部で6!通り。
a,b,cの3人の走順は3!通り、そのうちの１通りだけがaがbより先に、
bはｃより先になるので、答えは6!/3!=120通り。

弐　3桁の整数ｎの百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれx,y,z,とするとき、次の条件を満たす
　　　整数は何個あるか。
(1)x>y≧z　
＞x=n(n=1～9)のとき、y=m(m=0～n-1)、y=mのときz=0～mの(m+1)個の数字
をとり得るので、y(m)=m+1として
x(n)=∑(m=0→n-1)y(m)=∑(m=0→n-1)(m+1)=1+2+3+・・・・・+n=n(n+1)/2
∑(n=1→9)x(n)=∑(n=1→9){n(n+1)/2}
=(1/2)(1*2+2*3+3*4+・・・・・9*10)=(1/2)*330=165、答えは165個。
(2)x≧y≧z
＞(1)でy=m(m=0～n)として
x(n)=∑(m=0→n)y(m)=∑(m=0→n)(m+1)=1+2+3+・・・・・+n+(n+1)
=(n+1)(n+2)/2
∑(n=1→9)x(n)=∑(n=1→9){(n+1)(n+2)/2}
=(1/2)(2*3+3*4+4*5+・・・・・10*11)=(1/2)*438=219、答えは219個。

参　a,a,a,b,b,c,d,の7文字から4文字選んで1列に並べるとき、次の並べ方は何通りあるか。
(1)3種類の文字を使って並べる
＞4文字のうちの2文字はaaかbb。
その夫々に残りの3種類から2種類の1文字ずつが組み合わさるので、
4文字の組合せは全部で2×3=6通り。
4文字を1列に並べる並べ方は4!通りあるが、2文字が同じなので、
並べ方は4!/2=12通りになる。
従って、答えは6×12=72通り。
(2)並べ方の総数
＞aが3文字入る場合:3×4!/3!=12通り。
aが2文字bが2文字の場合:4!/(2!2!)=6通り。
aが2文字で他は1文字ずつの場合:3×4!/2!=36通り。
bが2文字で他は1文字ずつの場合:3×4!/2!=36通り
文字の重複が無い場合:4!=24通り。
よって、答えは12+6+36+36+24=114通り。

肆　6個の玉を3つの箱に分けて入れる。どの箱にも少なくとも1個は入れるとき、次の場合について
　　　玉の入れ方はそれぞれ何通りあるか。
(1)玉も箱も区別して考えた場合
＞箱をA、B、Cとする。
6個の玉を3つに分ける分け方は、4,1,1、3,2,1、2,2,2の3通り。
箱Aに4個入れる場合の入れ方は、6C4×2=30通り。
箱Aに3個入れる場合の入れ方は、6C3×3C2×2=120通り。
以上の150通りは箱B、箱Cの場合も同様なので120×3=360通り。
各箱に2個ずつ入れる場合の入れ方は6C2×4C2=90通り。
360+90=450
よって、答えは450通り。
(2)玉は区別するが、箱は区別しないで考えた場合
＞一つの箱に4個入れる場合の入れ方は、6C4=15通り。
一つの箱に3個入れる場合の入れ方は、6C3×3C2=60通り。
各箱に2個ずつ入れる場合の入れ方は、(6C2×4C2)/3!=15通り。
15+60+15=90
よって、答えは90通り。
(3)玉は区別しないが、箱は区別して考えた場合
＞箱Aに4個入れる場合の入れ方は、1通り。
箱Aに3個入れる場合の入れ方は、2通り。
以上の3通りは箱B、箱Cの場合も同様なので3×3=9通り。
各箱に2個ずつ入れる場合の入れ方は、1通り。
9+1=10
よって、答えは10通り。

この回答へのお礼

解説ご丁寧に本当にありがとうございます！

お礼日時：2012/03/27 11:05

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/26 22:21

ANo.3さんの回答のうち、

４．
例えば
１２３４｜５｜６は
２１３４｜５｜６や
１２４３｜５｜６と重複していませんか？

この回答へのお礼

あ、言われてみればそうかもしれませんね・・・

お礼日時：2012/03/27 11:04

No.3 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2012/03/26 18:10

１．

a,b,cの順番はもう決まっていて、次にdの順番を決めます。
dの順番は、aの前、aとbの間、bとcの間、cの後、の４通りです。
３人決まっている時に、一人追加する場合の数は４です。
次にeの順番を決めます。
４人決まっている時に、一人追加する場合の数は５です。
次にfの順番を決めます。
５人決まっている時に、一人追加する場合の数は６です。

∴４×５×６=120通り、じゃないですかね。

２．
(1)
例えば、z=0の時、
100,
200, 210,
300, 310, 320,
400, 410, 420, 430,
500, 510, 520, 530, 540,
600, 610, 620, 630, 640, 650,
700, 710, 720, 730, 740, 750, 760,
800, 810, 820, 830, 840, 850, 860, 870,
900, 910, 920, 930, 940, 950, 960, 970, 980
といった感じで、
y={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}の時、xの候補が{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}個となります。
z=1の時、y=0にはなれないので、y={1,2,3,4,5,6,7,8,9}の時、xの候補が{8,7,6,5,4,3,2,1,0}個となります。
z=2の時、y=0,1にはなれないので、y={2,3,4,5,6,7,8,9}の時、xの候補が{7,6,5,4,3,2,1,0}個となります。
45+36+28+21+15+10+6+3+1=165個

(2)
z=9の時、y={9}、xの候補は{1}個
z=8の時、y={9,8}、xの候補はそれぞれ{1,2}個
z=7の時、y={9,8,7}、xの候補はそれぞれ{1,2,3}個
:
:
z=1の時、y={9,8,7,6,5,4,3,2,1}、xの候補はそれぞれ{1,2,3,4,5,6,7,8,9}個
z=0の時、y={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}、xの候補はそれぞれ{1,2,3,4,5,6,7,8,9,9}個
※000は3ケタの整数じゃないところがミソですね。
1+3+6+10+15+21+28+36+45+54=219個

３．
(1)
３種類の文字を使って、４文字の文字列を作るとき
AABC, ABAC, ABCA, BAAC, BACA, BCAA,
AACB, ACAB, ACBA, CAAB, CABA, CBAAの12通りができます。
４文字で24通りのうち、２文字が共通なので２で割った、ということですね。

(i)aを使わない場合
　　bbcdの12通り
(ii)bを使わない場合
　　aacdの12通り
(iii)cを使わない場合
　　aabdの12通り
　　abbdの12通り
(iv)dを使わない場合
　　aabcの12通り
　　abbcの12通り
合計、12×6=72通りですかね。

(2)
(I)４文字使う場合
　　abcdの24通り
(II)３文字使う場合
　　(1)の72通り
(III)２文字使う場合
　　aaabの4通り
　　aaacの4通り
　　aaadの4通り
　　aabbの6通り
(IV)１文字だけ使う場合
　　無理
合計114通り　ですかね。


４．
３つの箱に６個の玉を入れる入れ方は、
６つの玉を並べて、間に仕切りを入れる、と考えると簡単です。
１２３４｜５｜６
１２３｜４５｜６
１２｜３４５｜６
：
：

といった感じで。
(1)
玉も箱も区別する場合、０個がダメなので
仕切りの位置は１の後ろ、２の後ろ・・・５の後ろの５か所に２枚入れる
10通り
玉の並べ方が6!=720通り
合わせて7200通り

(2)
箱を区別しない場合、箱A、箱B、箱Cの並べ方
A|B|C　A|C|B　B|A|C　B|C|A　C|A|B　C|B|A
の６通りがそれぞれ共通になるので、1200通り

(3)
玉を区別しない場合、仕切りの位置だけなので10通り
列挙すると
{4,1,1}個, {3,2,1}個, {3,1,2}個, {2,3,1}個, {2,2,2}個, {2,1,3}個, {1,4,1}個, {1,3,2}個, {1,2,3}個, {1,1,4}個

(おまけ)
玉も箱も区別しない場合
{1,1,4}, {1,2,3}, {2,2,2}の３通り

ですかね。



間違ってたらごめんなさい。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます

とても参考になります＾＾

お礼日時：2012/03/26 18:54

No.2 回答者： noname#164279 回答日時： 2012/03/26 17:41

まずは、壱から

a,b,cをすべて同じ人物だと考えます。
すると、a,a,a,d,e,fの６人の走順を考えればいいので
この中には、例えば、
a,f,d,e,a,a
のような走順があります。
そのときは１番左のaをaだとし、
２番目のaをbだとし、
３番目のaをcだとすればよいことになります。

したがって、答えは
6!/3!
ですね。同じものを含む順列です。


弐もだいたい同じ考えです。
(1)は、
(i)x>y>z
(ii)x>y=z
で場合分けをすると解決できるでしょう。

(i)だと
数字３つを選べばよいので、
10C3です。
(ii)は数字２つ選べばよいので
10C2です。
その合計が答えです。

この回答へのお礼

ありがとうございます

参考にさせていただきます＾＾

お礼日時：2012/03/26 18:53

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/26 12:16

それぞれどう考えてどこでどう行き詰っている?

この回答への補足

説明不足で申し訳ないです＾＾；

壱 はaとb、bとcの間でd,e,fがどのように挟まれるのかが分かりません。

弐 はｘ＞ｙ＞ｚの場合は分かるのですが、等号がつくと分からないのです・・・

参 は4種類の文字の場合は24通りだと思うのですが、上記の問題は分からな　　いのです・・・

肆 は日本語の意味が分かりません。日本語力がなくて本当にすみません・・・

補足日時：2012/03/26 12:28

この回答へのお礼

今後、質問する際記入をもらさないよう、注意します！

ありがとうございました

お礼日時：2012/03/26 18:53