出産前後の痔にはご注意!

確率の問題を説いているのですが、5C3じゃなくて、直感的に考える方法がありそうな気がして困って(?)います。

そもそも、この5C3を計算するときの分母なのですが、どうして3×2×1なのでしょうか?

5C2の時、私は(分母の2について)「A、B」と「B,A」の組み合わせがダブっている。そのように、全ての組み合わせを列挙すると、必ず 2個ずつダブっていることが、すぐにわかる。2倍カウントしてしまっているのだから、2で割る。・・・このように「ダブっている数が2」という理解の仕方をしています。

これと同じような説明が5C3についてもあるのでしょうか?
この場合の分母は3×2=6ですから・・・たとえば、
「3つを選ぶ場合は、必ず6倍カウントしていることになるだろう?」
という理屈がありますか?

・・・もしも、Cの考え方について、直感的でわかりやすい説明があれば、よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

まず、「P」から見ましょう。



5P3 の場合、「5個のものから3つ選んで、並べる方法の数」

A、B、C、D、E  から3つ取り出して並べるとして、そのパターンは、

① 1枚目に来るカードは、A、B、C、D、E の5通りがあります。
② 2枚目に来るカードは、①で選ばれたカード以外の4通りがあります。
③ 3枚目に来るカードは、①②で選ばれたカード以外の3通りがあります。
(選ばれないカードも2枚あります)

そういうわけで、①~③を見ると、5×4×3=60通り の並べ方があります。
この場合は、並べ方なので、3つの顔ぶれが同じであっても、
並べ方が違えば、違うものとしてカウントされています。
たとえば、選ばれた3つが、A、B、C だとすれば、
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA の 6通りの「並べ方」があるけど、これらは別カウント。

いっぽう「C」の場合。

5C3 の場合、「5個のものから3つを取りだす組合せ」

A、B、C、D、E  から3つ取り出す。

これは、上で見た通り、結果的に、A、B、C を選んでくるとしても並べ方は関係がないので、
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA の 6通りは、すべて同じこと。
つまりこの重複を除かねばならない。

この6通りはどう考えるのかというと、たとえば、
「3枚のカード、A、B、C がある。これらのすべての並べ方は何通りあるか」と同じこと。

となれば、
① 一枚目のカードになるのは、A、B、C の3通り
② 二枚目のカードになるのは、①で選ばれたカード以外の2通り
③ 三枚目のカードになるのは、①②で選ばれたカード以外の残りの1枚。勝手に決まる。(1通り)
この①~③ を考えると、 3×2×1=6通りとなる。


だから、5P3 を 3×2×1  で割っている、
つまり、「すべての並べ方」を、「重複しているパターン」で割っている、
とわたしは認識しています。
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この回答へのお礼

とてもよくわかりました。

中でも
>この6通りはどう考えるのかというと、たとえば、
「3枚のカード、A、B、C がある。これらのすべての並べ方は何通りあるか」と同じこと。

ここが、とてもわかりやすかったです。

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2015/05/06 15:07

5C3=5C2=5!/3!2!=5*4/2*1=10



この公式を学んだ時に聞いたはずですが、5個の中から3個取り出す取り出し方は、5個の中から2個取り出す取り出し方と同じということです。当然ですね。取り出して残った方に注目すれば納得できます。
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この回答へのお礼

3の裏は、2 といった考え方ですね!

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2015/05/06 15:08

問題を簡単にするためにABC3つのモノから何個かを選ぶと言うのを考えましょう。


1こだけ選ぶ即ち3C1です。
当然三通りの選び方があります。
2つ選ぶ時を考えます。
順番に取ることを考えますと
AB、AC、BA、BC、CA、CB6通りになります。
でもAB、とBAは同じですよね。ですから2*1で割ることになります。
3C2=3!/2!になるのはおわかりでしょうか。
では3つ選ぶことを考えますと
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA
で6通りになりますが、どれも同じですので
3C3=3!/3!
即ち1になります。
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この回答へのお礼

Cについて、とてもよくわかりました。

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2015/05/06 15:07

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▼3つだけを使うので同じものは2回使えない
▽最初にa.b.cの3つのうちのひとつが選べる
▽次に最初に選んだもの以外の2つのうちのひとつが選べる
▽最後に1つ残る

従って
3×2×1=6

で答えは6通り

▽検証
下記がその6通り
a.b.c
a.c.b
b.a.c
b.c.a
c.a.b
c.b.a

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選べる英数字は毎回36通り

ここから4桁を選ぶのだから

36×36×36×36=1679616

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