数III 定積分教えてください

∫（π /6～π/3 ）　{（sinx+cosx)/(sinx cosx)}dx

(sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))

=cos(x)/{1-sin^2(x)} +sin(x)/{1-cos^2(x)}
とした後、どうするのかが分かりません。教えてください。
詳しいとありがたいです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/04/02 12:25

そもそも, なぜそうしたのですか?

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/04/02 13:53

変数変換して部分分数分解します

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/02 14:11

前の質問で回答した者です。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7391265.html
の問題(6)の回答A#3から抜き出した質問に対する補足質問のようですね。
すでに同上の回答A#4に回答してありますのでそちらをご覧下さい。
その上で、同上回答A#3をご覧下さい。

他の質問の回答の一部を抜き出したなら、その回答のある質問を引用するようにした方が良いでしょう。

前の質問での回答済みですが再掲すると
>I=∫[π/6→π/3]{（sinx+cosx)/(sinx cosx)}dx　

>(sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))
=1/cos(x) + 1/sin(x)
>=cos(x)/{1-sin^2(x)} +sin(x)/{1-cos^2(x)}
={sin(x)}'*[1/{(1-sin(x))(1+sin(x))}]-{cos(x)}'*[1/{(1-cos(x))(1+cos(x))}]
={sin(x)}'*(1/2)[1/{1-sin(x)} +1/{1+sin(x)}]-{cos(x)}'*(1/2)[1/{1-cos(x)} +1/{1+cos(x)}]
と変形できるので(以降前の質問A#3で回答済みからのコピペです)

I=∫[π/6→π/3] dx/cos(x) +∫(π/6～π/3] dx/sin(x)　
=I1+I2 とおくと
合成関数の積分公式をI1,I2にそれぞれ適用して積分を計算します。
前半の
I1=(1/2)∫[π/6→π/3](sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}dx
は f(x)=1/(1-x) +1/(1+x),F(x)=-log|1-x|+log|1+x|,g(x)=sin(x),g'(x)=(sin(x))'とおく。すると
I1=(1/2)[-log|1-sin(x)|+log|1+sin(x)|][π/6→π/3]
=(1/2)[log(1/2)-log{1-(√3/2)}]
=(1/2)log(2-√3)
後半の
I2=-(1/2)∫[π/6→π/3](cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}dx
は f(x)=1/(1-x) +1/(1+x),F(x)=-log|1-x|+log|1+x|,g(x)=cos(x),g'(x)=(cos(x))'とおく。すると
I2=-(1/2)[-log|1-cos(x)|+log|1+cos(x)|][π/6→π/3]
=(1/2)[log{1-cos(x)}-log{1+cos(x)}][π/6→π/3]
=(1/2)[log(1/2)-log{1-(√3/2)}-log(3/2)+log{1+(√3/2)}]
=(1/2){-log(2-√3)-log3+log(2+√3)}
=(1/2)[log{(2+√3)/(2-√3)}-log3]
=log(2+√3)-(1/2)log3
従って
I=I1+I2
=(1/2)log(2-√3)+log(2+√3)-(1/2)log3
=-(1/2)log(2+√3)+log(2+√3)-(1/2)log3
=(1/2)log(2+√3)-(1/2)log3
(以上の対数は底がeの自然対数です。)

No.4 回答者： 151A48 回答日時： 2012/04/02 14:41

∫(1/cosx)dx+∫(1/sinx)dx=∫(cosx/cos^2 x)dx+∫(sinx/sin^2 x)dx

∫(cosx/(1-sin^2 x))dx+∫(sinx/(1-cos^2 x))dx　の後ですね。
∫(cosx/(1-sin^2 x))dx　の部分は　　t=sinx dt/dx =cosx t：1/2→√3 /2 の置換。
∫1/(1-t^2) dt=∫{1/(1-t) +1/(1+t) }dt =-log |1-t|+log |1+t|　となって行きます。
∫(sinx/(1-cos^2 x))dxの部分はどうしましょう？

対数の計算がちょっと面倒ですがやってみて下さい。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/03 01:17

A No.1 の疑問がもっともだ。

A No.2～4 のような処理を念頭に置くから
質問文のように変形するのであって、
それが見通せていないのなら、
型の如く t = tan(x/2) とでも置換してみる
ほうが堅実だろう。
結局、部分分数分解して積分する下りは同様だし。
もくろみなく筆の勢いで式変形しても、
得るものは何も無い。

No.6 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/03 10:14

#3です。

A#3のI1の途中計算に転記漏れが有りましたので該当箇所と
それに影響を受ける箇所を訂正させていただきます。

>I1=(1/2)[-log|1-sin(x)|+log|1+sin(x)|][π/6→π/3]
>=(1/2)[log(1/2)-log{1-(√3/2)}] ←×
>=(1/2)log(2-√3)　←×
=(1/2)[log(1/2)-log{1-(√3/2)}+log{1+(√3/2)}-log(3/2)]
=(1/2)[-log(2-√3)+log(2+√3)-log3]
=log(2+√3)-(1/2)log3

(なお、I2の方は合っています。I1=I2になります）

>従って
>I=I1+I2
>=(1/2)log(2-√3)+log(2+√3)-(1/2)log3　←×
>=-(1/2)log(2+√3)+log(2+√3)-(1/2)log3　←×
>=(1/2)log(2+√3)-(1/2)log3　←×
=2*I2 =2log(2+√3)-log3

>(以上の対数は底がeの自然対数です。)

以上