マクスウェル模型、フォークトモデルの問題

課題の提出日が迫っているのでお願いします。
ソフトマターの問題で、マクスウェル模型とフォークとモデルについてです

１．マクスウェル模型は、粘弾性流体に関するもっとも簡単なモデルの一つであり、粘性を表すダッシュポットと弾性的なばねを直列に並べたものであるばねの力学応答はフックの法則(弾性率E)で与えられ、ダッシュポットは粘性率ηのニュートン流体で記述できるとすると、マクスウェル模型は、
dε/dt=1/E・dσ/dt+σ/η
と表される。クリープ・コンプライアンス測定では応力は一定であるが、この時の変形の時間依存性を求めて図示せよ。さらに、応力緩和測定では変形が一定であるが、この時の応力の時間依存性も求めて図示せよ。ここで、緩和時間τ₀=η/Eを導入し、これは定数と仮定してよい。
２．フォークトモデルはバネとダッシュポトを並列につなげたものである。１の問題と同様に、クリープ・コンプライアンス測定における変形と応力緩和測定における応力を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2012/04/07 22:19

歪ε、応力σ、バネの弾性率Ｅ、ダッシュポットの粘性ηとし、

それぞれの歪と応力を添え字f、dで表すと。
バネの応力　　　　　　σf =Eεf
ダッシュポットの応力 σd=ηdεd/dt

Maxwellモデル
合わせた変形εは　ε=εf +εd 、応力σは σ=σf=σd
変形の式を時間tで微分すると
dε/dt=dεf/dt + dεd/dt
したがって
dε/dt=(dσf/dt)/E +σd/η = (dσ/dt)/E +σ/η　　　（１）

Voigtモデル
合わせた応力σは　σ=σf +σd 、歪εは　ε=εf=εd
したがって
σ= Eεf +ηdεd/dt = Eε+ηdε/dt　　　　　　　　　（２）

Maxwellモデル
a) 応力一定σ=σo、クリープ現象。
（１）式は　dε/dt =σo/η
これを積分すれば、Ｃを積分定数として。
ε(t)=(σo/η) t+ C
εo=ε(0) = C で、σf =Eεf からσo=Eεoとなり
εo = σo /E
ε(t)= σo/E +(σo/η)t

バネの瞬間伸び＋ダッシュポットの時間に比例した直線的な伸びの和。

b) 歪一定ε=εo、応力緩和現象。
（１）式は dσ/dt = -σE/η
dσ/σ = -dt/τ　　　　　　τ=η/E
これを積分すれば、Ｃを積分定数として。
lnσ=-τt+ C
σ(t) = C’*exp(-t/τ)
σo= σ(0) = C’ より
σ(t) = σo*exp(-t/τ)

最初σoの応力が指数的に減少し、t=τ（緩和時間）後にはσo*1/eまで
減少する。

Voigtモデル
a)応力一定σ=σo、クリープ現象。
（２）式は　　σo = Eε+ηdε/dt
この微分方程式の解は、積分定数をＣとして
ε(t) = exp(-t/τ)((σo/η)∫exp(t/τ)dt + C)
= σo/E + C*exp(-t/τ)
t=0で歪は0であるから
0 = σo/E + C　　　つまり　　　C = -σo/E
ε(t) = σo/E (1 - exp(-t/τ))

最初0の歪は徐々に増加し、σo/Eで頭打ちになる。
b)歪一定ε=εo
（２）式は　dε/dt = 0 　より
σ(t)= Eεo
となり、バネだけの場合と同じになる(形式的には)。
（実際には、瞬時に変形を与えることはできない。σd=ηdε/dt→∞となる。）