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- 回答日時:
オイラーの公式
exp(ikθ) = cos(kθ) + i*sin(kθ) (a)
exp(-ikθ)= cos(kθ) - i*sin(kθ) (b)
だから
sin(kθ) = (exp(ikθ) - exp(-ikθ))/(2i) (a式-b式から出てくる)
cos(kθ) = (exp(ikθ) + exp(-ikθ))/2 (a式+b式から出てくる)
よって
Σ[k=1~N]sin(kθ) = (Σ[k=1~N]exp(ikθ) - Σ[k=1~N]exp(-ikθ))/(2i)
Σ[k=1~N]cos(kθ) = (Σ[k=1~N]exp(ikθ) + Σ[k=1~N]exp(-ikθ))/2
になって
Σ[k=1~N]exp(ikθ) = exp(iθ)*(1-exp(iθ))/(1-exp(iθ)) …(※)
Σ[k=1~N]exp(-ikθ) = exp(-iθ)*(1-exp(-iθ))/(1-exp(-iθ))
なので、あとは計算をよろしくです。
(※)
Σ[k=1~N](r^(k-1)) = (1-r^(n))/(1-r)
よって
Σ[k=1~N](r^k) = Σ[k=1~N](r*r^(k-1))
= r*Σ[k=1~N](r^(k-1)) = r*(1-r^(n))/(1-r)
になるので、
rにexp(iθ)、exp(-iθ)を入れる
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