微積 f (x)+f '(x)→0　（x→∞)

Question

f:(0,∞)→実数として、f (x)+f '(x)→0　（x→∞)だとする。…(1)
そのときf (x)→0　（x→∞)であることを説明しなさいという問題ですが、

f '(x)→0　（x→0)が必要十分と考え
f (x)≠0 (x→0) だとして（f(x)=0 (x→0) だったらそれで終了）
f　'(x)/f (x)→-１　…(2)
となる。

x→∞でf '(x)→0じゃない場合、
f '(x)→0以外の実数定数　もしくは±∞となるはずだが、
f '(x)がx→∞で実数定数になる場合、f(x)が発散してしまうため条件(1)を満たせない
f '(x)がx→∞で±∞になる場合、f(x)が逆の符号で発散しないと条件(2)を満たさないが、f '(x)→＋∞のときf　(x)→－∞、ｆ '(x)→-∞のときf　(x)→+∞にはなりえない。
よってx→∞のときf '(x)→0　になる。
という感じで大まかな考え方はあってますか？

ringohatimitu · Accepted Answer

必要とされる知識はそんなに多くないですが、それらを上手く使えるように問題を変えたりある程度本質を見抜く力が重要になってきます。wikiには「extensive creative thinking is necessary」と書いてありますが時間制限を抜きにすればそれに同意します。間違いなく言えることはほとんどすべての数学者がPutnamは難しいと認識していることです。
問題の質は数学オリンピックとはまた異なる印象を受けますね。私も正直そんなに多くの問題を見たことは無いのでよく分かりませんが。。
ちなみに私の知っている大学教授(今現在数学のとある分野の第一線で活躍しています)がアメリカ留学中の学部生時代に一度受けたことあるみたいですが一問も解けなかったと言ってました＾＾
なので解けても解けなくても心配はいりません笑　まあでも当然解けるに越したことないですけど。

kabaokaba · Answer

＞という感じで大まかな考え方はあってますか？あってるところのほうが少ないです（ない？）＞f '(x)→0　（x→0)が必要十分と考え必要十分という言葉の使い方が間違ってます．この場合は「f '(x)→0　（x→0)であると仮定すると」でしょう．なんで「x->∞」の話が「x->0」になるのかが不明ですがひとまず仮定するだけなら何を仮定しても問題はないです．つぎに >f (x)≠0 (x→0) だとして（f(x)=0 (x→0) だったらそれで終了）これも間違え．まず「≠0」がだめ．「fがx->0で0に収束しない」を意図しているのであればこれは「fがx->0で0以外の値に収束するか，そもそも収束しない」ということですこの段階で，「x->0」は「x->∞」の間違えだろうと推測されます．また， >（f(x)=0 (x→0) だったらそれで終了）これも「f(x)->0 (x→∞) だったらそれで終了）」の間違えだろうと推測されますこのあともひたすら間違えています一応最初の段落を整理したりすると ========= f'->0 (x->∞) であると仮定する．このとき，f->0 (x->∞) ではないとすると（つまり背理法） fはx->∞で0以外の値に収束するか，そもそも収束しない fが0以外の値aに収束する場合 f+f'->0であるので a+0=0で矛盾．したがって，fは収束しないところが， f+f'->0，かつ f'->0なので任意の正の数εに対して十分大きなx>0をとると |f(x)+f'(x)|<(1/2)ε |f'(x)|<(1/2)ε とできる．よって |f(x)| = |f(x)+f'(x)-f'(x)| =|f(x)+f'(x)+|f'(x)| < ε つまり f->0となり矛盾 =========================== ということを最初の段落は主張しているのだろうと推測できるのですが・・・・これはあまりに冗長すぎます．単純に以下のようにすればいいのです ============= f'->0 (x->∞) であると仮定する． f+f'->0，かつ f'->0なので任意の正の数εに対して十分大きなx>0をとると |f(x)+f'(x)|<(1/2)ε |f'(x)|<(1/2)ε とできる．よって |f(x)| = |f(x)+f'(x)-f'(x)| =|f(x)+f'(x)+|f'(x)| < ε つまり f->0 ================ つぎに，f'->0のパターンはおわったので f'->0ではないケースを考えるのでしょう ============== f'->0ではないということは f'は0ではない値に収束するか，そもそも収束しない． f'->a（aは0ではない）とする f+f'->0 f'->a であるので |f(x)+a| = |f(x)+f'(x)+a-f'(x)| =|f(x)+f'(x)|+|f'(x)-a| より f->-a (x->∞) したがって a>0のとき fは単調増加任意の正の数ε>0に対して十分大きなM>0をとれば |f(x)+a|<ε^2 |f(x+ε)+a|<ε^2（fが単調増加であるので）とすることができる．したがってある実数y（0a (a>0)に矛盾 a<0のときも同様したがって，f'は収束しない ============================ きっともっとすっきりする手があるでしょう．この流れでいくならば f'が収束しないということをきちんと書き下して f+f'->0に当てはめることになりますが。。。そもそも「fが0に収束しない」ということをきちんと書き下すのであれば aに収束するとかそういう場合わけは不要かもしれませんここまでやってみましたが・・・この方針だと息切れしそうです＃というか・・息切れしたということでここまでそれでは．

ringohatimitu · Answer

振動するかもしれないのでその解法はまずいかもですね。。

例えば
limsup_{x>0} f(x)＝M＞0
とします。要するに、点列x_j→∞でf(x_j)≧M＞0を満たすものがとれると仮定するわけです。

さて、各区間[x_j,x_{j+1}]の中でf(x)の最小値に着目します。もし無限個のjに対してその最小値がM以下であれば必ずある点c_j∈[x_j,x_{j+1}]が存在してf(c_j)＝Mかつf'(c_j)≧0が成立します。このとき、
M＝f(c_j)≦f(c_j)+f'(c_j)→0
となり矛盾。よってそのようなjは高々有限個。すなわち、すべてのjに対して最小値はM以上であるとしてよい。更に、無限個のjに対して各区間の右端で最大値をとることはありません。というのも右端で最大値を取る場合そこでの微分係数は非負になりますから
M≦f(x_{j+1})≦f(x_{j+1})+f'(x_{j+1})→0
となり矛盾。
同じような議論で各区間の中、すなわち(x_j,x_{j+1})において最小値をとることも出来ない。
以上の考察から結局fは単調減少でなければならないことが分かります。
そうするとfの極限が存在し、その値はMに他なりません。

後は、平均値の定理を使ってみましょう。各xについてあるa_x∈(x-1,x)が存在して
f(x)＝{f(x)-f(x-1)}+f(x-1)＝f'(a_x) + f(x-1)＝{f'(a_x)+f(a_x)}+{f(x-1)-f(a_x)} 
が成立します。そこで両辺x→∞をとればM＝0が従います。

liminf_{x>0} f(x)＝m＜0のときも同様です。

kabaokaba · Answer

No.1です

なんとか質問文の方針を保って
添削的にいこうとしたら，息切れしたという体たらく orz

f+f'->0 f'->0から一気にいけるかですが
当然 f=(f+f')-f' だけでいけますね
わざわざεδにもっていく意味はなかったです．

「fが0に収束しない」ことを仮定して背理法でいくのが
普通の解法でしょう．
そしてどこかで平均値の定理を使うということで
要は，No.2さんの方針ですね．

ringohatimitu · Answer

いえ、最大最小については各区間[x_j,x_{j+1}]での話です。それぞれの区間で最大値は左端点、最小値は右端点、間の点ではMより下回ることはない、それゆえ間で最小値をとれない、従って各区間において単調減少・・・という流れです。いいでしょうか？

それからfがMに収束してもf'が0に収束するとは限りません。例えばy=1にx→∞で収束するグラフで激しい振動するものを想像してみてください。ただしその振動幅は小さくなるようなものです。そのとき微分係数は収束するどころか「どんどん大きくなる点」が無限に存在しますよね。

ringohatimitu · Answer

もっとすっきりした解法があるかもしれませんが他は思いつきませんでした。使ったことは極限の概念(特に背理法による無限個の点の抽出)、最大最小値における微分係数の性質、平均値の定理です。これを振り返ると「頑張れば」高校生でも解ける問題ですが、超高校級でしょうね。前に回答した問題もそうですが、アメリカで有名なPutnamの問題と似た印象を受けました。お蔭さまで楽しませてもらってます＾＾

ringohatimitu · Answer

なるほど、どうりで一筋縄ではいかなかったわけですね。私はPutnamなどのコンテストの類は受けたこと無いですが今はたまに面白そうな問題を見つけたら挑戦してみるときがあります。恥ずかしいことに高校生くらいのときはそういった"super-difficult"な問題は単にテクニカルで中身も応用性もないもので解くに値しないと思ってた時もありましたが、今はそういった考えも改まってきました。数学を続けていくとより複雑な理論を学ぶことになりますが数学において「理論の学習」だけでは駄目なのです。ある程度数学という学問に貢献していくためには「既知の理論」をフルに活用して様々な問題を解決していくという姿勢が最も大事なことなのですよね。そのような観点からすれば数学オリンピックやPutnamで必要とされる「発想力」をフル活用する姿勢と、数学の最先端における未解決問題などの解決に取り組む姿勢とは問題のレベルは違うにせよお互い通じるものがあるな～と感じています。そして初等的な新発見が高度な研究における突破口になることは実は数学ではしばしばあります。

微積 f (x)+f '(x)→0 （x→∞)

＞という感じで大まかな考え方はあってますか？

振動するかもしれないのでその解法はまずいかもですね。

この回答への補足

No.1です

いえ、最大最小については各区間[x_j,x_{j+1}]での話です。

もっとすっきりした解法があるかもしれませんが他は思いつきませんでした。

なるほど、どうりで一筋縄ではいかなかったわけですね。

必要とされる知識はそんなに多くないですが、それらを上手く使えるように問題を変えたりある程度本質を見抜く力が重要になってきます。

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