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途中計算も含めて教えてください。

以下の振り子の方程式の解はどのように与えられるか。

d2θ/dt2 = -mghθ/l

A 回答 (3件)

その方程式は、K = mgh/l と置くと


(d/dt)^2 θ = -Kθ ですね。
両辺に (d/dt)θ を掛けて t で積分すると、
(1/2)(dθ/dt)^2 = C - K(1/2)θ^2
となります。C は積分定数です。
この式は、変数分離形なので、
dθ/√(2C - Kθ^2) = dt と変形して
積分することができます。
sin の定義 sin^-1 y = ∫[0からyまで]dz/√(1-z^2)
を知っていれば、
φ = {√(K/(2C))}θ, u = {√K}t と置換することで
sin に帰着させることができます。
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この回答へのお礼

助かりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2012/05/10 21:33

mgh/l=k^2とおくと



d2θ/dt2 = -mghθ/l=-k^2θ     (1)

この2階常微分方程式を満たす解は

θ=Asin(kt+α)            (2)

で与えられる。この辺の話を理解するには微分方程式を勉強する必要があります。もし質問者が興味があれば、適当な本またはサイト等を見つけて勉強してください。ここでは(2)が(1)を満たすことを確認して良しとしましょう。

(2)はいわゆる単振動の式で

k=√mgh/l=2πf

T=1/f=2π√l/mgh

は周期(振り子が往復するのに要する時間)です。

m,g,h,lの意味を確認しておいてください。
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この回答へのお礼

助かりました。回答ありがとうございました。

お礼日時:2012/05/10 21:33

d2θ/dt2 +(mgh/l)θ=0


特性方程式
s^2+ (mgh/l)=0
s=±i√(mgh/l)
θ=c1*sin{√(mgh/l)t}+c2*cos{√(mgh/l)t}

ただし、c1,c2は初期条件より決まる定数。
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この回答へのお礼

助かりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2012/05/10 21:31

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平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
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における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
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Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性モーメントだと思うので、積分によって求めた、鉄の棒と立方体の重心周りの慣性モーメントを用いて、運動エネルギーを出します。

平面上の振り子運動だと思うので、
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速度v1,v2を微分によって求めます。

ここで、運動エネルギーは、並進の運動エネルギーと回転の運動エネルギーの和なので、
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の形であらわされます。

これを用いて、振り子の運動エネルギーを出して、この運動エネルギーを
E=1/2 Iω^2の回転のみのエネルギーとした時の、Iにあたる量が振り子の慣性モーメントです。
(振り子の回転中心は動かないので上記の形にかけます)
(鉄の棒と立方体は重心中心の慣性モーメントなので、重心が動くので(*)の形でかけます)

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

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