bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)≧…

文字は正とする。　　

bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)≧6abc

の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/05/28 14:14

別解。

文字は正から、両辺を　abcで割ると、(b+C)/(a)＋(c+a)/(b)＋(a+b)/(c)≧6を示すことになる。
ここまでは同じ。

b/a＝α、c/b＝β、a/c＝γとする。
左辺は　(α＋1/γ)＋(β＋1/α)＋(γ＋1/β)だから、ここから解法は2つある。

(解法-1)
(α＋1/γ)＋(β＋1/α)＋(γ＋1/β)＝(α＋1/α)＋(β＋1/β)＋(γ＋1/γ)と変形する。
相加平均・相乗平均より　α＋1/α≧2、β＋1/β≧2、γ＋1/γ≧2より自明。等号成立は？

(解法-2)
(α＋1/γ)＋(β＋1/α)＋(γ＋1/β)＝(α＋β＋γ)＋(1/α＋1/β＋1/γ)と変形する。
相加平均・相乗平均より　α＋β＋γ≧3(3)√(αβγ)、1/α＋1/β＋1/γ≧3(3)√1/(αβγ)。
αβγ＝1から　(α＋β＋γ)＋(1/α＋1/β＋1/γ)≧6。等号成立は？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

(解法-1)の等号成立は、α＝1/α、β＝1/β、γ＝1/γ
つまり、b＝a、c＝b、a＝c

(解法-2)の等号成立は、　α＝β＝γ
つまり、b^2＝ac、c^2＝ab
つまり、a＝b＝c

ということですね。

お礼日時：2012/05/28 16:16

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/28 20:21

もっと普通に…

左辺を展開して = bbc + bcc + cca + caa + aab + abb.
a,b,c が正より、どの項も正だから、相加相乗平均の関係から
左辺 ≧ 6(bbc・bcc・cca・caa・aab・abb)^(1/6).
この右辺を整理して = 6abc.
等号成立条件は bbc = bcc = cca = caa = aab = abb だが、
それが a = b = c と同値であることを確認するのは容易い。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/05/28 13:56

又、君か。

前にも言ったが少しは考えろ。
次に質問する時は、丸投げではなく、どこまで考えたかを書け。
ここは何処かのsledと違って、丸投げは嫌われる。

文字は正から、両辺を　abcで割ると、(b+C)/(a)＋(c+a)/(b)＋(a+b)/(c)≧6を示すことになる。
a+b+c＝Xとすると、(x-a)/a＋(x-b)/b＋(x-c)/c≧6　つまり　x(1/a+1/b+1/c)≧9　→　(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)≧9を示せば良い
相加平均・相乗平均から　a+b+c≧3(3)√(abc)、1/a+1/b+1/c≧3(3)√1/(abc)。
等号成立条件は同じから、これを掛け合わせると(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)≧9になる。

答案として纏めるのは、自分でやれ。