写像の問題についてご教授願います。

問　
　ｆ、ｇが全単射ならば、ｇ◦ｆは全単射、また、(ｇ◦ｆ)⁻¹＝ｆ⁻¹◦ｇ⁻¹を示せ。
　という問です。ｇ◦ｆは全単射については、ｆ、ｇが全単射の仮定を使いできました。
　しかし、(ｇ◦ｆ)⁻¹＝ｆ⁻¹◦ｇ⁻¹をどのような方針、また、どんな解答になるのかがわかりません。
　
　ご教授お願いします。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/06/14 22:24

条件が抜けています。

f: A → B, g: B → C　で　f, gが全単射であればにしておきます。
であれば、h=ｆ⁻¹◦ｇ⁻¹　とおけば、hはCからAへの写像である。
h◦g=(ｆ⁻¹◦ｇ⁻¹)◦g=ｆ⁻¹◦(ｇ⁻¹◦g)=ｆ⁻¹◦idB=ｆ⁻¹
h◦(g◦f)=(h◦g)◦f=ｆ⁻¹◦f=idA
同じようにして、(g◦f)◦h＝idC が導ける。
よって、ｈは(g◦f)の逆写像である。h=(g◦f)⁻¹　一方hの定義より、ｆ⁻¹◦ｇ⁻¹＝(g◦f)⁻¹

上で、idA,idB,idC は idA: A → A, idB: B → B, idC: C → C　の恒等写像を表しています。

こんな感じでしょうか。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/14 22:05

z=g(y) y=f(x)

とでもおいて

x=f^{-1}(y)=f^{-1}(g^{-1}(z))=(f^{-1}g^{-1})(z)

だということを考えればよい

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/14 22:02

紙に丸を三つ書いて、それぞれ集合を表すと考える。

一つめの丸の中から二つめの丸の中へと矢印を書き、
矢印の傍らに小さく f と書く。
その矢印の先端から三つめの丸の中へと矢印を書き、
矢印の傍らに小さく g と書く。
あとは、
その図を睨んで、g○f の逆写像がどんな写像だか
考えてみよう。

証明の形式以前に、定理の実態を把握しなくては。