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No.1
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多様体の定義にあてはまることを示せば良いでしょう。
例としてS^1={(x,y)∈R^2|x^2+y^2=1}が一次元多様体であることを示します。U1 = {(x,y)∈S^1|x>0}
U2 = {(x,y)∈S^1|x<0}
V1 = {(x,y)∈S^1|y>0}
V2 = {(x,y)∈S^1|y<0}
とします。U1からRの区間(-1,1)の上への写像φを
φ:(x,y) → y
で定義すると、U1はRの開集合と一対一に対応させることができることが分かります。同様にU2、V1、V2もRの開集合と一対一に対応し、S^1=U1∪U2∪V1∪V2だからS^1は一次元多様体となります。S^2やトーラスも全く同じ様にできます。
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