出産前後の痔にはご注意!

X、Y、Zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい

(1) X^2+Y^2+Z^2≧XY+YZ+ZXを示し、等号が成り立つときの
X、Y、Zの条件を求めなさい。

(2)X+Y+Z=1のとき、
XY+YZ+ZX≦1/3を示し、
等号が成り立つときのX、Y、Zの値を全て求めなさい。

を、教えてください(泣)

A 回答 (1件)

(1)(左辺)-(右辺)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx


=(1/2)(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2)
=(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}
≧0(∵(x-y)^2≧0,(y-z)^2≧0,(z-x)^2≧0)

  よって、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx

  なお、等号が成立するのは、
  x=y,y=z,z=xすなわちx=y=zのとき。

(2) (1)の結果を使います。
  x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx・・・(i)
(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx≧xy+yz+zx
今、x+y+z=1だからこれを上式に代入して、
  1≧3xy+3yz+3zx
∴xy+yz+zx≦1/3・・・(ii)

  等号成立条件は、(1)よりx=y=zのとき(∵(ii)の証明に(i)式を利用したから、
   (ii)の等号成立条件は(i)と同じ)
  今題意よりx+y+z=1なので、
  x=y=z=1/3
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