固有ベクトルは収束値なのでしょうか？

お世話になります。

2次元のベクトルに2×2の行列を掛けることを考えます。

例えば
行列A = [1, 2, 2, －2]　（成分は[左上, 右上, 左下, 右下] ）
の固有値と固有ベクトルの組は、
・λ1 = 2, x1 = (2, 1)
・λ2 = －3, x2 = (1, －2)
です。

そして計算してみたところ、任意のベクトル（x1の実数倍を除く）は、
Aを無限回かけることによって、x2の実数倍に収束するようです。

そこで質問です。

(Q1)
一般に、任意のベクトルに行列を無限解掛けたときの収束値は、
その行列の固有ベクトルになるものなのでしょうか？
そうだとすると、その理由をできれば直感的なイメージで
ご教授いただけませんでしょうか？
難しければ数学的な説明でも結構です。

(Q2)
(Q1)がYESだとした場合、複数ある固有ベクトルのうち、
どれが収束値になるかを見分ける方法は
ありますでしょうか？なんとなく、固有値の絶対値が大きいもの
なのかなという気がするのですが。。

以上、お手数をお掛け致しますが、ご教授いただけますと助かります。
よろしくお願い致します。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/03 14:34

←A No.3 補足

今回質問の A のように、|μ/λ| = 2/3 < 1 であれば、
No.1 補足のように考えれば十分と思います。

B は x2 方向の固有値が 1 ですから、
B^n x - B^(n-1) x は、常に x2 方向の成分が消えて、
x1 方向の成分が公比 μ/λ で減少していくように見えるはずです。
従って、B^n x は、x を出発してから x1 に沿って
次第に歩巾を狭めながら x2 方向に接近してゆく列になるでしょう。
初期値 x を基底 { x1, x2 } 上に成分表示して考えると
解かるのではないでしょうか。

尚、No.3 に書いたように、また、No.4 さんも書いているように、
絶対値最大の固有値が複数あると話が変わってきます。
|μ/λ| = 1 になってしまい、
lim[n→∞](μ/λ)^n = 0 ではなくなるからです。

この回答へのお礼

> 今回質問の A のように、|μ/λ| = 2/3 < 1 であれば、
> No.1 補足のように考えれば十分と思います。

了解です。

> B は x2 方向の固有値が 1 ですから、
> B^n x - B^(n-1) x は、常に x2 方向の成分が消えて、
> x1 方向の成分が公比 μ/λ で減少していくように見えるはずです。

おぉ～なるほど！！
そこが読み取れていませんでした。

疑問がすっきり解消しました。
ありがとうございます。

その他のご回答くださった皆さまもありがとうございました！

お礼日時：2012/09/03 15:10

No.4 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/09/03 12:24

No1 のコメントの答え

固有値が　最大固有値の－１倍ならば、　最大固有値で割っても　-1なるので　０にはなりません。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/03 01:29

行列 A を

A の固有値のなかで絶対値が最大のもの(虚数の固有値も含む)
で割った行列を B と置き、
A の替わりに B を無限回掛けることを考えてご覧よ。

B の固有値はどれも絶対値が 1 以下だから、
方向だけでなくベクトルそのものが収束して、考えやすい。
絶対値最大の固有値が複数あると話がややこしくなる事情も、
そこから見えてくるかと思う。

一般の正方行列 A を扱うには、ジョルダン標準形の知識が要るが、
実２次行列に限るなら、対角化不能な行列(固有値は重根)と
回転行列(固有値は共役複素数)の場合だけ
別扱いにすれば済む。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご指摘いただいたBで計算してみましたところ、たしかに
ベクトルそのものが収束して考えやすくなりました。
しかしながら、
「x1に平行に変化しながら、x2の実数倍に収束しそう」
という以上のことを読み取ることが私にはできませんでした。

・x2に収束するという理解であっているか
・あっているとすれば、x1ではなくx2の実数倍に収束する理由
につきまして、もう少しヒントをいただけると幸いです。

お礼日時：2012/09/03 09:18

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/09/02 23:30

「反復法」ってやつだね.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

少し調べてみたところ、反復法とは数値計算で使う方法のようですが、
私の疑問を解くうえでどのように活用すればよいのかがよくわかりませんでした。
よろしければ教えていただけませんでしょうか。

お礼日時：2012/09/03 09:18

No.1 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/09/02 21:20

まず、　対角化できる場合とできない場合では少し事情が異なります。

それと、固有値が実数でない場合、複素化して考えないといけません。


対称行列の場合は、対角化できて、複素化する必要はありません。固有値も実数です。

固有値　を　λ　μ 固有ベクトルを v w とします

勝手なベクトル　を　　ｘ　とすると　　x=　av + bw とかけます

Ax = aAv + bAw = aλv + bμw

だから　Aをｎかいかけると　aλ^nv + bμ^nw

これのｎを無限大に飛ばした物になります。　　　

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

行列 A が重根でない実数の固有値を持つ場合、

ご回答いただいた
A^n x = aλ^nv + bμ^nw
の(v 成分, w 成分)は( aλ^n, bμ^n )です。
このベクトルの向きは、両成分をλ^nで割って
( a, b (μ/λ)^n )
ここで、|μ/λ| < 1 とすると w 成分はゼロに収束するので
このベクトルの収束値は (a, 0)、
つまり、固有値の絶対値が最大の固有ベクトルの実数倍に
収束する、という理解でよろしいでしょうか。

お礼日時：2012/09/03 09:18