中学三年　数学の問題です。

Question

1）　√124-8ｎ　が整数となるｎをすべて求めなさい。

2）ｍ、ｎはｍ＜ｎである自然数とする√3ｍｎが整数となる（ｍ、ｎ）の組にうち、ｍ+ｎの値を小さい順に並べて3番目となる組を求めなさい。

答え
1）　3.11.15
2）　ｍ＝2　n=6

求め方が（1）、（2）共に解りません。
教えて下さいお願い致します。

aky_nil · Accepted Answer

2=√4
5=√25
これらのようにa=√a^2となる、つまり二乗するとルートの中身の数になる、ということを理解すれば解けると思います。
（^2は二乗の意味）

(1)
√（124-8n）が整数になるときは、
ある整数を二乗して124-8nの数になるようにすればいいのです。

√124=12なので、12までの数をルートに直してみます。
1=√1
2=√4
3=√9
・・・
10=√100
11=√121
12=√124

計算してこれらのルートの数になる整数nを求めるようにします。
すると、
√(124-8*3)=√100=10
√(124-8*11=√36=6
√(124-8*15)=√4=4
これら3つが答えとなります。

(2)
とりあえずルートの中に3があるため、確実に3の倍数になりますね。
3の倍数のうち、ある数の二乗になる数になるように、まずはm*nの値を求めます。

ある数の二乗になっている3の倍数は、
9(3*3)、36(6*6)、81(9*9)・・・になります。

ではまず3mnが9となるm、nを求めます。
3mn=9
mn=3
m<nのため、m=1、n=3
m+n=1+3=4
3mnが9になるときはこのワンパターンだけです。

次に36になる場合。
3mn=36
mn=12
mn=12とするには、1*12、2*6、3*4の3パターン。
1+12=13
2+6=8
3+4=7

m+nが小さい方から3つ目となる組み合わせは、
m+n=8となる2と6の場合、つまりm=2、n=6の場合です。

gohtraw · Answer

（１）
√（１２４－８ｎ）　が整数になるのだから、ルートの中身は
１２４－８ｎ＝０、１、４、９、１６、・・・
という具合に平方数（整数を二乗した数）になるはずです。

（２）
上記と同様、３ｍｎ＝１、４、９、１６、・・・
という具合に３ｍｎが平方数になります。今回ゼロが入っていないのはｍおよびｎが自然数だからです。３ｍｎは３の倍数でなくてはならないので
３ｍｎ＝９、３６、８１、１４４・・・
ｍｎ＝３、１２、２７、４８、・・・
となります。あとはｍとｎの組を数え上げます。ｍｎ＝３だったら（ｍ，ｎ）＝（１，３）みたいにね。

tragicomedy695 · Answer

√があるので、√の中が平方数になるようにします。

A1
１２４より小さい平方数は、１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４、８１．１００、１２１
これらをすべてためす。
または、√（124-8ｎ）＝２√（３１－２ｎ）となるので、
３１より小さい平方数１，４，９，１６，２５を試す。

A2
3ｍｎが平方数になるように三の倍数の平方数９、３６、８１、１２１、１４４
をｍ＜ｎの条件のもと試す。
初めはｍ＝１でやっていって、数が大きくなりだしたらｍ＝２でやってみる。

birth11 · Answer

１） √ 124  - 8 n ……………………(1)

皆さん n が負の整数の場合を忘れてないですか。

n = - 1のとき、(1)のルート内は (124 + 8) = 132
整数の二乗にはならないので不適。
n = - 2 のとき、(1)のルート内は (124 + 16)
整数の二乗にはならないので不適。
n = - 3のとき、(1) のルート内は（124 + 24)
整数の二乗にはならないので不適。
 
順次吟味していくと
n = - 9のとき、(1)のルート内は ( 124 + 72 ) = 196 =14^2 ( すべての条件を満たす   。) 
n = - 25のとき、(1)のルート内は ( 124 + 200 ) = 324 = 18^2 ( すべての条件を満たす。)

この先順次吟味していたらもっと答えが出るかもしれないが、
ここまで書いていたら評価高いんじゃないかな。

n が自然数と書いてなかったら余裕があれば上記答えも考えて欲しい。n をすべて求めなさいと書いてあるから。
n = - 25 , - 9 , 3 ,11 ,15 ……………………(答)
標準解答はほかの方の考え方で OK だと思います。

別解

中学三年 数学の問題です。

2=√4

（１）

√があるので、√の中が平方数になるようにします。

１） √ 124 - 8 n ……………………(1)

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