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お世話になります。
6年生の子と算数を解いています。正方形ABCDがあり、点Aを中心とした円を正方形の中に描きます。(90°の扇形)
点Cでも同様にすると、Aの扇形とCの扇形で重なる葉っぱのような形の面積を求めるものでした。
これは解けたのですが、子どもが「点BとDでも扇形を描いて扇形ABCDの重なる部分で出来る手裏剣のような形の面積はどう出すのか?」と言い出しました。
ちょっと考えてみたのですが、これが解けません。
これはもう算数というより数学(微分?積分?)のような気がするのですが、解き方を教えてください。
あと、6年生に説明できるような問題でしょうか?
よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (9件)

とき方そのものは難しくはありませんが,6年生への説明は無理だと思います.



とき方としては,
 Aを頂点とする円とBを頂点とする円の正方形中の交点をEとする.
 三角形ABEは正三角形であるので,
  AB(=底辺)×(AB×√3÷2)(=高さ)÷2
でこの三角形の面積が計算できます.
 扇形ADEおよび扇形BCEの面積は,三角形ABEは正三角形であり,各角が60°であることから,30°の扇形である.従って,
  AB×AB×(30÷360)
 で,これらの扇形の面積がわかります.
従って,正方形の面積から,正三角形の面積と2つの扇形の面積を引くと,図形CDEの面積が計算できます.
正方形中に図形CDEと同じ形が4つあるわけですから,正方形の面積から図形CDEの面積の4倍を引いてやれば,手裏剣形の部分の面積が求められます.

…やはり,小学校6年生には難しいですね.
ピタゴラスの定理を学習してからでないと,教えるのは難しいでしょうね.
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ほとんど回答が出ているので、全然参考にならないことをひとつ。


この問題は、大学入試(おそらく積分の問題として)出題されたことがあります。

この回答への補足

まとめての御礼になってしまって申し訳ありません。
回答を頂いてから暇さえあれば考えていたのですが、理解するのに一晩かかってしまいました。(^_^;)
扇形の2辺が曲線だと言う事にとらわれてしまって・・・。(汗)
補助線の意味がわかったらすぐ解けました!すっきりしました。
6年の子は一応√3の意味はわかるらしいので、早速教える事にします。
皆さん、どうもありがとうございました。

補足日時:2004/02/10 21:05
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#7です。

間違っているところがあったので、訂正します。

正:一辺を20cmの正三角形

誤:一辺を10cmの正三角形

正:高さは大体17.3cm

誤:高さは大体1.7cm

    やっぱり、私には東大は無理だった!!!

失礼しました。
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#4です。


小5の時、クラスメイト3人で授業中に、この問題を紙に書いて回しながら解いていました。
一人が、正方形や直角三角形をいろいろ書いて、「正三角形の一辺を1とすると正三角形の高さは、小数を2回掛けたものが3になる数の半分だ」と書いてきました。
もう一人は、「小数を2回掛けたものが3になる数は、1.5と2の間にある」と書いてきました。
私は、一辺を10cmの正三角形を書いて「高さは大体1.7cmだ」と書いて他の2人に回しました。
それから、「小数を2回掛けたものが3になる数は、1.73位であること」が分かった時、先生に見つかって「職員室に後で来い」といわれました。
先生は3人に「こんな難しい問題を、授業中に解くな」といっただけでした。
その後、一人は東大理学部に入学し、もう一人は京大工学部に入学し、残りの一人は普通の大学の工学部へ入学しました。

だから、小学校の生徒のうち1人くらいは、この問題を解ける子供がいると思います。
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公式ではなく、応用の利かない手ですがこんな方法もあります。



まず、ホームセンターなどで重量のある厚板を買い、
正方形ABCDを作りその重さを量りましょう。
家庭にある上皿天秤で計れるでしょう。
(例えば、10cm×10cmで100cm2、
 重さが、Ag)

次に、その正方形に手裏剣を書き、糸鋸で引きましょう。

最後にその手裏剣の重さを量りましょう(重さBg)。

そして両者の重さの比(100cm2×B/A)から、
手裏剣の面積を求めましょう。
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#2です。



#3の方もおっしゃっていますが、積分などを使わずにこれを解くには正三角形の面積(高さ)を使う必要があり、そこで「√3」という数字が出てくるため、その時点で小学生の範囲を超えます。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)から出てくるものですが、三角定規の3辺の比としても有名です。
この「√3」さえ理解できるなら、あとの計算は充分小学生レベルなのですが…。
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これは、超有名な中高一貫教育校の「中学入試」の算数問題です。


三角関数が理解できれば解けます。
積分が分かるなら簡単に解けます。
しかし、算数で解くのは補助線を見つけるのに、少し時間がかかると思います。

このサイトには、数学に詳しい人がいるので、ちょっと待てば、正解の回答があるでしょう。
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求める部分が違いますが、こちらで詳しく解説されてます。

(基本的に考え方は同じです)

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=121947
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微分、積分はいらないようです。



正方形の中に出来る4つの交点をAとBに近い点を
Eとします。BECで囲まれた部分の面積を求め
4倍します。正方形からこれを引くと
真ん中の図形の面積になりますね。

ではBECの面積はECに直線を引きます。
この時扇形BECの面積はECDが正三角形であるから
求められます。

とここまででよろしいですか。

有名な難問です。
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