数学的帰納法ではない解き方

すべての自然数nについて、n＾３＋２nは３の倍数である。

この問題を数学的帰納法を　使わないで

解く方法を問題としてだされました
自分では何回しても解けませんでした

解答お願いします！！

No.5 回答者： kfer_oope 回答日時： 2012/10/17 08:43

むしろ、数学的帰納法を使う問題ではないと思うのだが・・・。

中学生がこの問題を解く時、どういう手順を踏むかという観点で考えましょう。

ぶっちゃけていうと、この問題は高校受験レベルです。

で、どういう解法を思いついたのか、それをまずは記載してみましょう。
数学は試行錯誤が大事ですから。それともただのカンニングですか？

No.4 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/16 22:22

n^3+2n=(n-1)n(n+1)+3n

と書き直す．

・(n-1)n(n+1)は，連続する3つの整数n-1,n,n+1はいずれかが3の倍数だから3の倍数
・3nはもちろん3の倍数

よってn^3+2nは3の倍数の和だから3の倍数．

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2012/10/16 22:07

自然数nを、

1)3で割りきれる数
2)3で割ると1あまる数
3)3で割ると2あまる数
の3パターンに分類する。
1)は、1以上の整数aを用いてn=3aと表わせる。
2)は、0以上の整数aを用いてn=3a+1と表わせる。
3)は、0以上の整数aを用いてn=3a+2と表わせる。

1)の場合
n^3+2n=(3a)^3+2・3a
=3a(9a^2+2)
であるから、n^3+2nは3の倍数である。

2)の場合
n^3+2n=(3a+1)^3+2(3a+1)
=(3a+1)(9a^2+6a+1+2)
=(3a+1)(9a^2+6a+3)
=3(3a+1)(3a^2+2a+1)
であるから、n^3+2nは3の倍数である。

3)の場合
n^3+2n=(3a+2)^3+2(3a+2)
=(3a+2)(9a^2+12a+4+2)
=(3a+2)(9a^2+12a+6)
=3(3a+2)(3a^2+4a+2)
であるから、n^3+2nは3の倍数である。

よって、すべての自然数nについて、n^3+2nは3の倍数であることが証明できた。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2012/10/16 22:01

n=3m、3m+1、3m+2 のそれぞれの場合の式がいずれも3の倍数であることを示せばOK

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/10/16 21:59

任意の自然数は

n=3k, 3k-1, 3k-2 (k=1,2,3,...)
と表せるから
それぞれの場合を n^3+2n に代入すればいい

もっと整理するなら合同式を使えばいいけど
本質は上の場合分けに尽きる．