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正四面体ABCDにおいて
A(1,3,0)
B(3,5,0)
C(3,3,2)
のとき、最後の頂点Dの座標をもとめる問題を教えて下さい。

幾何学的に2つ解がありそうなイメージはあります。

まず、AB間の距離が2√2であることを求めました。
そこでDの座標を(x,y,z)とし、Dは、A,B,Cからそれぞれ等距離(2√2)
であることから次の連立方程式を立式しました。

(x-1)^2+(y-3)^2+z^2=8     ・・・・(1)
(x-3)^2+(y-5)^2+z^2=8      ・・・・(2)
(x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=8    ・・・・(3)

これを以下のとおり計算して、
(1)-(2)より、
x+y=6  ・・・(4)
(2)-(3)より、
y-z=3  ・・・(5)
(1)-(3)より
x+z=3   ・・・(6)

の3本の一次式を得ましたが、(4)=(5)+(6)となってしまい、
解を特定できなくなってしまいました。

立式の方針に間違いがあるのでしょうか、あるいは、なにか
見落としがあるのでしょうか?

A 回答 (2件)

(4),(5),(6)より



y = 6 - x
z = 3 - x

(1)に代入して

(x-1)^2 + (3-x)^2 + (3-x)^2 = 8

二次方程式をたすきがけによって解く。
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この回答へのお礼

確かに解けました。ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/05 12:58

(4)=(5)+(6)は、実は当たり前です。


3元連立方程式の2個ずつを加減して3個の式を導いてしまうと、必ずこのようになります。

消去法の視点からは、2個が導ければ良いわけで、(4)~(6)のうちの任意の2式から、変数3個のうちの2個が消去できてしまいます。

たとえば(4)(5)からなら、
x=6-y
z=y-3
が得られ、これを(1)に代入すれば、yだけの2次方程式になります。
この2次方程式は簡単に因数分解できて、解けてしまいます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/05 12:59

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