合同式の質問です。 n≡0(mod5)のとき n(n^4+4)≡0×4≡0 などに、nに0を代入でき

合同式の質問です。
n≡0(mod5)のとき
n(n^4+4)≡0×4≡0
などに、nに0を代入できるのはなぜですか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/16 12:56

mod は、一連の ≡ がどれも mod 5 だと判るように

どこかで断っておけばok.
冒頭に文章で書いてもいいし、
式の右端に (mod 5) と書くのは
習慣であって、規則じゃあない。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/15 17:10

n≡0(mod5)のとき

n(n^4+4)≡0×4≡0
ではなく
n(n^4+4)≡0×4≡0(mod5)
です
(mod5)がなければ間違いです

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/15 14:58

それは、そもそも合同式って何だ？って質問になるんだけど...

a≡b(mod m) ってのは、a-b が m で割り切れるって意味。
だから、a≡b(mod m), c≡d(mod m) のとき
a=b+mi, c=d+mj (i,jは整数) と書けるので、
(a+c)-(b+d) = (b+mi+d+mj)-(b+d) = m(i+j),
(ac)-(bd) = (b+mi)(d+mj)-(bd) = m(di+bj+mij) より
a+c≡b+d（mod m), ac≡bd(mod m) が成り立つ。
つまり、≡(mod m) の世界で足し算掛け算が普通にできるってこと。
これを a が n、 b が 0 で使えば、代入もできる。
n(n^4+4) って式は n と 4 と足し算と掛け算だけでできているから、
n(n^4+4)=n(n・n・n・n+4)≡0(0・0・0・0+4)≡0.

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/15 14:34

高校1年生の数1で証明出来るから、掛け算・足し算・引き算の場合は無条件に≡は＝と同じ扱いが出来ると暗記する。

n≡0(mod 5)はnを5で割った余りが0という事。
つまりnは5で割り切れる→n=5･商

n(n^4+4)=(5･商){(5･商)⁴+4｝＝5×○という形。
つまりn(n⁴+4)は5で割り切れる。
∴合同式の書き方によりn(n⁴+4)≡0(mod 5)