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No.1
- 回答日時:
一部微積を使います.
(1)n=1のとき
1-log2=loge-log2=log(e/2)>log1=0(∵e=2.78・・・>2)
∴1>log2
よって成り立つ.
(2)n=k(k=1,2,3,・・・)のとき成り立つと仮定する:
1+1/2+1/3+…+1/k>log(k+1)
両辺に1/(k+1)を加えて
(☆)1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)>log(k+1)+1/(k+1)
ここで
log(k+1)+1/(k+1)-log(k+2)=1/(k+1)-log{(k+2)/(k+1)}
=1/(k+1)-log{1+1/(k+1)}
ここで
f(x)=x-log(1+x)(|x|<1)
とおくと,
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)
-1<x<0のときf'(x)<0
0<x<1のときf'(x)>0
よって
f(x)≧f(0)=0(等号はx=0の時に限る)
0<1/(k+1)<1であるから
f(1/(k+1))>0
1/(k+1)-log{1+1/(k+1)}>0
すなわち
(★)log(k+1)+1/(k+1)>log(k+2)
☆,★より
1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)>log(k+2)
よってn=k+1のときも成り立つ.
(1)(2)よりすべての自然数に対して
1+1/2+1/3+…+1/n>log(n+1)
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