数学的帰納法 １²＋３²+５²+・・・＋(２ｎ-１)²＝１/３n(２ｎ-１)(２ｎ＋１) n=k+1

数学的帰納法

１²＋３²+５²+・・・＋(２ｎ-１)²＝１/３n(２ｎ-１)(２ｎ＋１)

n=k+1のとき
１²＋３²+５²+・・・＋(２ｎ-１)²
=1/3k(2k-1)(2k+1)+(2k+1)^2

１²＋３²+５²+・・・＋(２ｎ-１)²
=1/3k(2k-1)(2k+1)

なぜこの変形になりますか？
1/6n(n+1)(2n+1)公式とは違う公式ですか？

質問者からの補足コメント

• １²＋３²+５²+・・・＋(２ｎ-１)²
  ↓
  1/3k(2k-1)(2k+1)
  
  なぜ1/3k(2k-1)(2k+1)になったのか分かりません

    補足日時：2023/03/05 13:58

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/05 10:08

[0] が成立することを、

(1/6)n(n+1)(2n+1)公式を使って示すこともできますよ。

１²＋2²+3²+・・・+(２ｎ)² の偶数番目の項と奇数番目の項を分けて和を作ると、
(奇数番目の和) = (全部の和) ー (偶数番目の和)
１²＋３²+５²+・・・+(２ｎ-１)² = { １²＋2²+3²+・・・+(２ｎ)² } ー { 2²＋4²+6²+・・・+(２ｎ)² }
　= { １²＋2²+3²+・・・＋(２ｎ)² } ー (2²)・{ 1²＋2²+3²+・・・＋ｎ² }
　= (1/6)(2n)((2n)+1)(2(2n)+1) ー 4・(1/6)n(n+1)(2n+1)
　= (１/３)n(２ｎ-１)(２ｎ＋１)
と計算できます。

この計算で数学的帰納法が避けて通れるかというと、そうでもなくて、
ここで使った (1/6)n(n+1)(2n+1)公式 が成り立つことを証明するために
数学的帰納法を使うことになるのです。
帰納法を公式の中に隠して、使ってないようなふりをしているだけです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/05 09:58

「なぜこの変形になりますか？」という文が

何を質問しているのか判りませんね。
数学的帰納法がどいうものなのか知らない
ってことなのかな？

変数 n を含む命題 P(n) の成立を示したいとき、
① P(1) が成立すること と
② 自然数 k について P(k) が成立すると仮定すれば P(k+1) も成立すること
を示せば、任意の自然数 n について P(n) が成立すると言ってよい
というのが「数学的帰納法」です。
なぜそうなのかは考えてもしかたがなくて、
数学的帰納法自体は自然数の定義の一部です。

ここでは、任意の自然数 n について
１²＋３²+５²+・・・+(２ｎ-１)² = (1/3)n(２ｎ-１)(２ｎ＋１)　←[0]
が成り立つことを、数学的帰納法で示そうとしているんですよね？
だとすれば、質問の
１²＋３²+５²+・・・+(２ｎ-１)² = (1/3)k(2k-1)(2k+1)
という変形は、② の仮定部分からでてきます。

[0] に数学的帰納法を適用すると、② は
自然数 k について
１²＋３²+５²+・・・+(２k-１)² = (1/3)k(２k-１)(２k＋１)　←[1]
が成立すると仮定すれば
１²＋３²+５²+・・・+(２(k+1)-１)² = (1/3)(k+1)(２(k+1)-１)(２(k+1)＋１)　←[2]
も成立する
...となります。これを示そうというわけです。

[2] の左辺は
１²＋３²+５²+・・・+(２(k+1)-１)² = １²＋３²+５²+・・・・・・・・・・・・+(２k+１)²
　　　　　　　　　　　　　= １²＋３²+５²+・・・+(2k-1)² + (２k+１)²
と書けますが、この右辺の １²＋３²+５²+・・・+(2k-1)² の部分は、
[1] の成立が仮定してあることから = (1/3)k(２k-１)(２k＋１) です。
よって、
１²＋３²+５²+・・・+(２(k+1)-１)² = １²＋３²+５²+・・・+(2k-1)² + (２k+１)²
　　　　　　　　　　　　　= (1/3)k(２k-１)(２k＋１) + (２k+１)²
とできます。
今回の質問は、この部分の変形についてですよね？

(1/3)k(２k-１)(２k＋１) + (２k+１)² を整理すれば
(1/3)k(２k-１)(２k＋１) + (２k+１)² = (1/3)(k+1)(２k+1)(２k+3) となって、
(1/3)(k+1)(２(k+1)-１)(２(k+1)＋１) = (1/3)(k+1)(２k+1)(２k+3)
の右辺と一致します。これで [2] の成立が示されました。