分布関数と一様分布の関係について

Xを連続型の確率変数として、その分布関数をF(X)としたとき、F(X)は一様分布U[0,1]に従うみたいなのですが、理解できません。初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/13 13:49

←No.3 「お礼」欄について:

ああ、そういう質問意図だったか。
それなら、それが判るように書かなきゃね。

関数 F が確率変数 X の分布関数だというのは、
X≦t という事象の起こる確率が F(t) ってこと。
分布関数は単調増加だから、X≦t ⇔ F(X)≦F(t).
つまり、F(X)≦F(t) という事象の起こる確率
が F(t) ってことだ。
F(X)=Y, F(t)=T と記号を置き換えると、
Y≦T という事象の起こる確率が T だと言える。

A No.2 に書いた一様分布 U(0,1) の定義によれば、
それは、Y が U(0,1) に従うってことだよね。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってすみません。

P(X≦x)=xとなるのはXが標準一様分布に従うときであるということですね。盲点でした。助かりました！！

お礼日時：2012/12/29 18:05

No.8 回答者： noname#168545 回答日時： 2012/12/14 15:50

すみません。

悪い書き方でした。

Fが非減少というだけでは「」が成り立たたないので
逆関数を使ったような議論はできないが
Fの連続性があるから少し補強すれば完成するという意味でした。

t<0ならP{F(X)≦t}=0
t≧1ならP{F(X)≦t}=1はいいとして
その他のtについてはFの連続性から
y(t)=max{y: F(y)=t}が定まって
P{F(X)≦t}=P{X≦y(t)}=t

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/29 17:55

No.7 回答者： ramayana 回答日時： 2012/12/13 22:43

ちょー細かい点ですが、「 F(X)≦F(t) ⇒ X≦t 」が言えないのは、Fが狭義単調増加と限らないからです。

Fが連続というのは、「」内が言えることの必要条件でも十分条件でもありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/29 17:55

No.6 回答者： noname#168545 回答日時： 2012/12/13 14:31

細かい点ですが、

「全てのtについて{X≦t}={F(X)≦F(t)}」
とはいえない。

そこでFが連続という仮定が必要になる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/29 17:56

No.4 回答者： ur2c 回答日時： 2012/12/13 08:51

> なぜ一様に分布するのかがわかりません

参考 URL は読みましたか？ よりていねいかつ易しくは，残念ながら説明できません．映像的にも明らかに見えるので．

「理解できない，わからない」と言いつのるだけでなく具体的に，たとえば証明のどこが納得できないのかなどの情報があれば，もしかしたら対応できるかも．

> 例えばベータ分布も

何のためにこれを持ち出したのか，動機がわかりません．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/29 17:56

No.3 回答者： ur2c 回答日時： 2012/12/12 16:07

> Xを連続型の確率変数として、その分布関数をF(X)としたとき、F(X)は一様分布U[0,1]に従う

以下のようなことかと．

X を連続型の任意分布にしたがう確率変数とする．
その分布関数を F() とする．
そのとき F(X) は一様分布 U[0,1] にしたがう．

このことは（擬似）乱数の生成でよく使うので，「逆関数法」を検索すれば解説がたくさんあります．たとえば参考 URL.

参考URL：http://www.slideshare.net/teramonagi/r-14810107# …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。そうです。逆関数法や、確率分布間の従属性に関しての記述ででてくるのですが。

Xの分布関数Fは、[0,1]上の値をとる、単調非減少関数なのはわかりますが、なぜ一様に分布するのかがわかりません。例えばベータ分布も[0,1]上で定義されるので、B(p,q)=Vとして、Ｆ^(-1)(V)=Xとしてはいけないのでしょうか。

お礼日時：2012/12/12 22:35

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/12 15:22

「F(X) は一様分布 U[0,1] に従う」では、言葉遣いがオカシイ。

連続確率変数 X の分布関数 F(X) が F(X) = X (定義域は 0≦X≦1) であることを、
「X は一様分布 U(0,1) に従う」と言い表すのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/12 22:39

No.1 回答者： f272 回答日時： 2012/12/12 13:54

「F(X)は一様分布U[0,1]に従う」んじゃなくて，従うと仮定するとか従うと仮定できるとかじゃないのかな。

一様分布というのは，すべての場合について，その起こる確率が等しいということですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/12 22:39